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alias: [ "théorème des bornes atteintes", "théorème de Weierstrass" ]
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up: "[[application continue]]"
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tags: "#s/maths/analyse"
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> [!definition] théorème des valeurs extrêmes
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> Soit $\mathbf{K}$ un [[corps]]
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> Soit $I \subset \mathbf{K}$ un [[intervalle fermé]]
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> Soit $f: I \to F$
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> Si $f\in C^{0}(I)$ ($f$ est [[application continue|continue]] sur $I$), alors $f$ est **[[fonction bornée|bornée]]**
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^definition
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> [!attention] Intervalles contenant des infinis
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> La propriété ne fonctionne plus quand l'intervalle $I$ contient des valeurs infinie.
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> Par exemple, la fonction :
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> $\begin{align} f : & [0; +\infty] \to \mathbb{R}^{+}\\ & x \mapsto e^{x} \end{align}$
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> Est continue sur l'intervalle $[0; +\infty]$, mais n'est pas bornée (elle diverge vers $+\infty$ en $+\infty$)
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> (voir [[fonction exponentielle]])
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