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Affected files: .obsidian/community-plugins.json .obsidian/plugins/obsidian-pandoc-reference-list/data.json .obsidian/plugins/obsidian-share-as-gist/data.json Excalidraw/Scripts/Downloaded/Split text by lines.md changement de base.md conception des bases de données.md démonstration un groupe possède un unique élément neutre.md justifications de la domination des élites.md obsidian plugin home tab.md paradigme programmation orientée tableaux.md programmation serveur (backend).md similitude vectorielle.md
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share_updated: 2025-04-03T16:27:33+02:00
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up: "[[base d'un espace vectoriel]]"
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tags: "#s/maths/algèbre"
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Soient $E$ et $F$ des $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel|ev]]
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- Soient $B_0$ et $B'_{0}$ des bases de $E$
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- Soient $B_1$ et $B'_{1}$ des bases de $F$
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Soit $f$ une [[application linéaire]] de $E \to F$
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- Soit $A$ la matrice de $f$ dans $B_0$ vers $B_1$
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- Soit $B$ la matrice de $f$ dans $B'_{0}$ vers $B'_{1}$
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Soient $P$ et $Q$ des matrices de changement de base
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- $P$ change de $B_0$ vers $B'_{0}$ (elle transforme un vecteur de $B'_{0}$ en un vecteur de $B_0$)
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- $Q$ change de $B_{1}$ vers $B'_{1}$
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Pour tout vecteur $X \in E$, avec $Y = f(X) = AX$ avec $X$ dans $B_0$ et $Y$ dans $B_1$
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Pour tout vecteur $X' \in F$ avec $Y' = f(X') = BX'$ avec $X'$ dans $B'_{0}$ et $Y'$ dans $B'_{1}$
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![[changement de base 2022-11-04 15.41.02.excalidraw|100%]]
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## Matrice de passage
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Une matrice de changement de base (ou matrice de passage) est la matrice $P$ formée des vecteurs de la base d'arrivée en colonne.
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Alors, $P^{-1}$ correspond à l'[[application linéaire]] qui passe d'un vecteur dans la base de départ à un vecteur dans la base d'arrivée.
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> [!example] Exemple
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> Changement de la base $B = \{ (0, 1); (1, 0) \}$ vers $B' = \{ (\pi; \phi); (42; 73) \}$
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> La matrice de passage $P$ de $B_0$ vers $B_1$ est :
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> $P = \begin{pmatrix} \pi & 42\\ \phi & 73\end{pmatrix}$, c'est-à-dire les vecteurs de $B'$ en colonne
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> Alors, soit $X$ un vecteur exprimé dans $B$, et soit $X'$ le même vecteur exprimé dans $B'$, on a :
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> $X = PX'$ ou bien $X' = P^{-1}X$
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> - [!] le sens est inversé
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## Changement de base d'une application linéaire
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Soit $f$ une [[application linéaire]]
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$f$ a pour matrice $A$ dans la base $B_0$ vers $B_1$
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$f$ a pour matrice $B$ dans la base $B'_{0}$ vers $B'_{1}$
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On cherche a faire un changement de base de l'application, c'est-à-dire exprimer $A$ en fonction de $B$ ou inversement.
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On voit ci-dessous qu'appliquer $A$ correspond à appliquer $P ^{-1}$, puis $B$, puis $Q$
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> [!definition]- Démonstration
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> On a les égalités suivantes
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> - $Y = AX$
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> - $Y = QY'$
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> - $X = PX'$
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> Alors :
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> $$\begin{align}
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> Y = AX &\iff Y = APX' && \text{car } X = PX'\\
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> &\iff QY' = APX' && \text{car } Y = QY' \\
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> &\iff QBX' = APX' && \text{car } Y' = BX' \text{ (par définition)} \\
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> &\iff QB = AP && \text{car c'est vrai pour tout } X' \\
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> &\iff A = QBP ^{-1} \\
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> &\iff B = Q ^{-1} A P
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> \end{align}$$
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> [!idea] Cas d'un [[endomorphisme d'espaces vectoriels]]
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> Si $f$ est un [[endomorphisme d'espaces vectoriels]], c'est-à-dire que $E = F$ ($f$ est sur $E \to E$)
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> Alors, on a $Q = P$. Le changement de base est donc simplififié :
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> $A = P B P ^{-1}$ et $B = P ^{-1} A P$
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> - [i] **Mnémo :** ancien passage nouveau (puis passage inverse)
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![[changement de base 2022-11-04 15.41.02.excalidraw|900]]
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