Propriétés

[!proposition]+ Les diviseurs sont les idéaux La loi \cdot est bien définie (par \overline{x}\cdot \overline{y} = \overline{x\cdot y}) sur A / I si et seulement si I est un idéaux d'un anneau de A.

[!démonstration]- Démonstration

Supposons que I est absorbant (i.e. I est idéaux d'un anneau) Soient x, x' \in A tels que \overline{x} = \overline{x'} \implies \exists i \in I,\quad x' = x+i Soient y, y' \in B tels que \overline{y} = \overline{y'} \implies \exists j \in I,\quad y' = y+j alors : x'y' = (x+i)(y+j)=xy+\underbrace{\overbrace{iy}^{\in I}+\overbrace{jx}^{\in I}+\overbrace{ij}^{\in I}}_{\in I} car I est absorbant donc \overline{x'y'} = \overline{xy} d'où suit que \cdot est bien définie. Ainsi, tout idéal peut être diviseur d'un quotient d'anneau

Réciproquement, on suppose que \cdot est bien définie Soient i \in I et a \in A alors \overline{ia} = \overline{0a} = \overline{0} puisque \overline{0} = \overline{ i} donc : ia \in \overline{0} = I D'où suit que I est absorbant. Ainsi, tout quotient d'anneau à pour diviseur un idéal

De là suit que les diviseurs des quotients d'anneaux sont exactements les idéaux de l'anneau quotienté.

[!proposition]+ Soit (A, +, \cdot) un anneau Soit I un idéaux d'un anneau de A, et (A/I, +, \cdot) l'anneau quotient Soit \begin{align} \pi : A &\to A /I \\ x &\mapsto \overline{x} \end{align} un morphisme surjection alors : \pi établit une bijection entre les idéaux d'un anneau de A contenant I et les idéaux d'un anneau de A /I

[!démonstration]- Démonstration On note : \Omega = \{ J \text{ idéal de } A \mid I \subset J \} \overline{\Omega} = \{ J \text{ idéal de } A /I \}

\begin{align} \pi : \Omega &\to \overline{\Omega} \\ J &\mapsto \pi(J) \in \overline{\Omega} \text{ car } \pi \text{ est un morphisme subjectif} \end{align} On veut montrer que c'est une bijection.

Soit \overline{J} un idéal de A /I J := \pi ^{-1}(\overline{J}) est un idéal de A (car \pi est un morphisme) \overline{O} \in J donc I \subset \pi ^{-1}(\overline{J}) et donc J \in \Omega et est tel que \pi(J) = \overline{J}

Soit J un idéal de A qui contient I Posons \overline{J} = \pi(J) Montrons qu'alors J = \pi ^{-1}(\overline{J}) (ce qui implique l'injectivité, car si \pi(\tilde{J}) = \pi(J), alors J = \tilde{J} = \pi ^{-1}(\overline{J})) Puisque \pi(J) = J on a J \subset \pi ^{-1}(\overline{J}) Montrons que \pi ^{-1}(\overline{J}) \subset J Soit x \in \pi ^{-1}(\overline{J}) c'est-à-dire \pi(x) \in \overline{J} = \pi(J) \implies \exists y \in J,\quad \pi(x) = \pi(y) \implies \pi(x-y) = \overline{0} \implies x - y \in \ker \pi = I \implies \exists i ,\quad x = \underbracket{y}_{\in J} + \underbracket{i}_{\in I \subset J} \in J on a montré que \pi ^{-1}(\overline{J}) \subset J on a donc J = \pi ^{-1}(\overline{J})

3.7 KiB Raw Blame History

Propriétés

Exemples

3.7 KiB

Raw Blame History