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[!proposition]+ théorème de Fubini Soient (E, \mathcal{A}, \mu) et (F, \mathcal{B}, \nu) deux espace mesuré tels que \mu et \nu soient mesure sigma finie Soit f fonction intégrable sur (E\times F, \mathcal{A} \otimes \mathcal{B}, \mu \otimes \nu)

1. pour presque tout x \in E :
   • la fonction y \mapsto f(x, y) est $\nu$-intégrable
   • la fonction x \mapsto f(x, y) est $\mu$-intégrable
2. échanger x \longleftrightarrow y et \mu \longleftrightarrow \nu
3. \begin{align} \int_{E\times F} f \, d\mu \otimes \nu &= \int_{E} \left( \int_{F} f(x, y) \, \nu(dx) \right) \, \mu(dy) \\&= \int_{F} \left( \int_{E} f(x, y) \, \mu(dy) \right) \, \nu(dx) \end{align}

Exemples

Exemple 1

D = [0; +\infty[ \times [0; 1] \begin{align} f : \mathbb{R}^{2} &\to \mathbb{R} \\ (x, y) &\mapsto \cos(xy)e^{ -tx } \end{align} avec t>0 On veut calculer \displaystyle I = \int_{\mathbb{R}^{2}} f \mathbb{1}_{D} \, d\lambda _{2} On a :

\begin{align} 
\int_{\mathbb{R}^{2}} \left| f\mathbb{1}_{D} \right|  \, d\lambda _{2} &\leq  \int_{\mathbb{R}^{2}} e^{ -tx } \mathbb{1}_{D}(x, y) \, dx dy \\
&\leq  \int_{0}^{+\infty} \left( \int_{0}^{1} e^{ -tx } \, dy  \right) \, dx \\
&\leq  \int_{0}^{+\infty} e^{ -tx } \, dx = \frac{1}{t}  \\
&\leq  +\infty & \text{car } t > 0
\end{align}

Donc f\mathbb{1}_{D} est intégrable

\begin{align} 
I &= \int_{\mathbb{R}^{2}} f \mathbb{1}_{D} \, d\lambda _{2} \\
&= \int_{0}^{+\infty} \left( \int_{0}^{1} \cos(xy)e^{ -tx } \, dy  \right) \, dx \\
&= \int_{0}^{+\infty} e^{ -tx } \left[ \frac{\sin(xy)}{x} \right]_{0}^{1}  \, dx \\
&= \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x}e^{ -tx } \, dx 
\end{align}

Mais on a aussi :

\begin{align} 
I &= \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{+\infty} \cos(xy)e^{ -tx } \, dx  \right) \, dy \\
&= \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{+\infty} \Re(e^{ ixy }) e^{ -tx } \, dx  \right) \, dy \\
&= \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{+\infty} \Re(e^{ ixy } e^{ -tx }) \, dx  \right) \, dy \\
&= \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{+\infty} \Re(e^{ - x (t - iy)} ) \, dx  \right) \, dy \\
&= \arctan\left( \frac{1}{t} \right)
\end{align}