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up:: [[série trigonométrique]]
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author:: [[Joseph Fourier]]
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title::
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#s/maths/analyse
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> [!definition] Série de Fourier
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> Soit $f$ une [[fonction continue par morceaux]] de [[fonction périodique|période]] $2\pi$
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> On pose :
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> - $\displaystyle a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx$
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> - $\displaystyle a_{n} = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi }^{\pi } f(x) \cos(nx) \, dx$
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> - $\displaystyle b_{n} = \frac{1}{\pi } \int _{-\pi }^{\pi } f(x)\sin(nx) \, dx$
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>
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> Soit, la [[série trigonométrique]] :
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>
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> $\boxed{SF_{f}(x) =\frac{a_{0}}{2} + \sum\limits_{n \geq 1} a_{n}\cos(nx) + b_{n}\sin(nx)}$
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> On sait que, si $SF_{f}$ [[série de fonctions convergence|converge]], alors elle converge vers $f$
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> - $(a_{n})$ et $(b_{n})$ sont appelés les [[coefficients de fourier]] de $f$
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^definition
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> [!idea]- Pourquoi cette formule
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> $(a_{n})$ et $(b_{n})$ servent à décomposer $f$ en [[série trigonométrique]].
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> Le coefficient devant les intégrales sert à les ramener à une période de 1 (c'est une sorte de moyenne sur la période). Il n'est pas de $2\pi$ car la [[Formules d'Euler|formule d'Euler]] pour le [[fonction cosinus|cosinus]] contient déjà une division par 2.
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> - [!] Il ne faut pas oublier de diviser par 2 le premier terme, $a_0$, car il ne contient pas de $\cos$
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> [!idea]- Intuition
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> On peut voir la transformée de Fourier comme l'écriture d'une fonction dans une base $\cos(x), \sin(x), \cos(2x), \sin(2x), \cos(3x)\dots$.
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>
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> C'est similaire à l'écriture d'une fonction comme une [[série entière]] (dans ce cas, c'est dans une base $x, x^{2}, x^{3}, x^{4}\dots$)
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> [!definition] Forme exponentielle complexe
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> On peut aussi exprimer la décomposition $SF_{f}(x)$ avec une somme comme suit :
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> $\boxed{SF_{f}(x) = \sum\limits_{n=-\infty }^{+\infty} \alpha _{n}e^{ inx }}$
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> [!query] Sous-notes de `=this.file.link`
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> ```dataview
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> LIST title
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> FROM -#cours AND -#exercice AND -"daily" AND -#excalidraw AND -#MOC
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> WHERE any(map([up, up.up, up.up.up, up.up.up.up], (x) => econtains(x, this.file.link)))
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> WHERE file != this.file
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> SORT up!=this.file.link, up.up.up.up, up.up.up, up.up, up, file.name
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> ```
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