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up:: [[tribu]]
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#s/maths/algèbre
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> [!definition] Proposition
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> L'intersection de [[tribu|tribus]] sur $E$ est une [[tribu]] sur $E$
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# Démonstration
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Soit $(\mathcal{A_{i}})_{i \in I}$ une suite de tribus sur $E$
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On pose $\displaystyle\mathcal{A} = \bigcap _{i \in I}(\mathcal{A}_{i})$
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1. contient l'ensemble vide
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$\forall i \in I, \quad \emptyset \in \mathcal{A}_{i}$. Donc $\displaystyle\emptyset \in \bigcap _{i \in I}(\mathcal{A}_{i})$. On a donc bien $\boxed{\emptyset \in \mathcal{A}}$
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2. stable par complément
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Soit $A \in \mathcal{A}$
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$\forall i \in I, \quad A \in \mathcal{A_{i}}$
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Or, comme tous les $\mathcal{A}_{i}$ sont des tribus :
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$\forall i \in I, \quad A^{C} \in \mathcal{A}_{i}$ donc $A^{C} \in \bigcap _{i \in I}(\mathcal{A}_{i})$
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3. stable par intersection
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même principe que le 2.
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