cours/démonstration intersection de deux droites vectorielles.md

up::droite vectorielle title::"D_{1} = D_{1} ou $D_{1} \cap D_{2} = { 0_{E} }$" outdescription::"deux droites vectorielles sont confondues ou ont pour intersection $0_{E}$" #t/démonstration #s/maths/algèbre

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On veut montrer que deux droite vectorielle sont soit confondues, soit d'intersection le vecteur nul.

Soient \overrightarrow{D_{1}}=Vect(\vec{e_{1}}) et \overrightarrow{D_{2}}=Vect(\vec{e_{2}}) deux droite vectorielle On appelle \overrightarrow{F}=\overrightarrow{D_{1}}\cap\overrightarrow{D_{2}} l'intersection de ces deux droites On sait que l'intersection de sous espaces vectoriels est un sous espace vectoriel, donc 0 \in F Alors :

• Soit \left( \vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}\right) est famille de vecteurs liée
  • Alors \overrightarrow{D_{1}}=Vect(\vec{e_{1}})=Vect(\vec{e_{2}})=\overrightarrow{D_{2}} et les deux droites sont confondues
• Soit (\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}) est famille de vecteurs libre
  • Alors :
    • Si \vec{u}\in\overrightarrow{D_{1}}\cap\overrightarrow{D_{2}}
      • il existe deux réels \lambda_{1} et \lambda_{2} de sorte que \vec{u}=\lambda_{1}\vec{e_{1}}
      • \lambda_{1}\vec{e_{1}}-\lambda_{2}\vec{e_{2}}=\vec{0} mais la famille (\vec{e_{1}},\vec{e_{2}}) est famille de vecteurs libre
      • donc : \lambda_{1}=0=\lambda_{2}
      • et donc : \vec{u}=0
      • alors \overrightarrow{D_{1}} = \overrightarrow{D_{2}} On à donc : Deux droites vectorielles \overrightarrow{D_{1}} et \overrightarrow{D_{2}} sont :
• confondues si (\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}) est famille de vecteurs liée
• d'intersection réduite au vecteur nul si (\vec{e_{1}},\vec{e_{2}}) est famille de vecteurs libre