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[!definition] Définition Une variable aléatoire réelle
Xsuit une loi binomiale de paramètresn \in \mathbb{N},p \in [0, 1]si :\boxed{\mathbb{P}_{X}= \sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\delta _{k}}On note alorsX \sim B(n, p)^definition
Propriétés
[!proposition] Remarque On a bien :
\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n} \left( \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \right)= (p + 1-p)^{n} = 1
[!proposition]+ Soit
n \in N,p \in [0, 1]SoientX_1, \dots, X_{n}indépendantes et de même loiB(p)(Loi de Bernoulli) SiX = \sum\limits_{i = 1}^{n}X_{i}(nombre de succès) AlorsX \sim B(n, p)[!démonstration]- Démonstration Soit
k \in [\![0; 1]\!]\begin{align} \mathbb{P}(X = k) &= \mathbb{P}\left( \bigcup _{\substack{C = (C_1, \dots, C_{n}) \in \{ 0, 1 ^{n}\}\\ \text{avec } \sum\limits_{i = 1}^{n}C_{i} = k}} \{ X_1=C_1, \dots, X_{n}=C_{n} \} \right) \\&= \sum\limits_{\substack{C \in \{ 0, 1 ^{n}\}\\ \sum\limits C = k}} \mathbb{P}(X_1=C_1, \dots, X_{n}=C_{n}) \\&= \sum\limits_{\substack{C \in \{ 0, 1 \}^{n}\\\sum\limits C = k}} \left( \mathbb{P}(X_1 = C_1)\cdot \cdots \cdot\mathbb{P}(X_{n} = C_{n})\right) \\&= \sum\limits_{\substack{C \in \{ 0, 1 \}^{n}\\ \sum\limits C = k}} p^k(1-p)^{n-k} \\&= p^k(1-p)^{n^k} \sum\limits_{\substack{C \in \{ 0, 1 \}^{n}\\ \sum\limits_{i=1}^{n}C_{i} = k}} 1 \\&= \binom{n}{k}p^{k}(1 - p)^{n - k} \end{align}