cours/action de groupe.md

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up:: groupe #s/maths/algèbre

[!definition] Définition Soit G un groupe et E un ensemble Une action de groupe de G sur $E$ est une application : \begin{align} G \times X &\to X \\ (g, x) &\mapsto g \cdot x \end{align} qui vérifie :

1. \forall x \in X,\quad 1_{G} \cdot x = x (élément neutre)
2. \forall (g, g') \in G,\quad \forall x \in X,\quad g' \cdot \underbrace{(g \cdot x)}_{\in X} = \underbrace{(g'g)}_{\in G} \cdot x (associativité) ^definition

Propriétés

[!proposition]+ Morphisme associé Soit \cdot une action du groupe G sur X La donnée de \cdot est équivalente à la donnée d'un morphisme de G dans le Groupe des bijections

Exemples