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up:
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- "[[nombre premier]]"
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tags:
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- s/maths
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aliases:
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- fonction π
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> [!definition] [[fonction pi|fonction π]]
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> La fonction $\pi$ est la fonction qui à un entier $n$ associe le $(n+1)^{\text{ème}}$ [[nombre premier]]
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> $\begin{array}{rcl} \pi(0) &=& 2\\ \pi(1) &=& 3\\ \pi(2) &=& 5\\ \pi(3) &=& 7 \\&\vdots& \end{array}$
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^definition
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# Propriétés
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> [!proposition]+ la fonction $\pi$ est [[fonction récursive primitive|récursive primitive]]
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> La fonction $\pi$ est [[fonction récursive primitive|récursive primitive]]
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > On peut définir $\pi$ par récurrence et par [[schéma mu borné|schéma µ borné]] comme suit :
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> > $\pi(0) = 2$
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> > $\pi(n+1) = \mu p \leq (n+1)! \quad \left(\mathrm{sg}(p \dot{-}\pi( n)) \cdot \left( 1\dot{-} \mathrm{sg} \left( \sum\limits_{d=1}^{d=p}d|p \right) \right) \right)$
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^recursive-primitive
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# Exemples
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