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[!definition] fonction partielle Une fonction partielle de \mathbb{N}^{p} \to \mathbb{N} est un couple (A, f) où A \subseteq \mathbb{N}^{p} et f est une application de A \to \mathbb{N}.

• i A est appelé domaine de définition de la fonction
• i si (a_1, a_2,\dots, a_{p}) \notin A on dira que la fonction n'est pas définie en (a_1, a_2, \dots, a_{p})
• so Deux fonctions partielles sont égales si elles ont le même domaine de définition, et si elles sont égales sur ce domaine ^definition

• une fonction partielle définie partout est une fonction totale

[!info] Notation On notera :

• f pour désigner, le couple (A, f)

• \mathscr{F}^{*}_{p} l'ensemble des fonctions partielles de \mathbb{N}^{p} \to \mathbb{N}

• \mathscr{F}^{*} = \bigcup _{p \geq 0} \mathscr{F}_{p}^{*}

• ! on réservera le mot "fonction" aux fonction totale

Définitions supplémentaires

[!definition] Composée Soient f_1, f_2, \dots, f_{n} \in \mathscr{F}_{p} et g \in \mathscr{F}_{n} La fonction composée h = g(f_1, f_2, \dots, f_{n}) est l'élément de \mathscr{F}^{*}_{p} défini comme suit :

• h(x_1, x_2, \dots, x_{p}) n'est pas définie si l'une des f_{i}(x_1, x_2, \dots, x_{p}) n'est pas défini ou si, toutes l'étant, g(f_1(x_1, x_2, \dots, x_{p}), f_2(x_1, x_2, \dots, x_{p}), \dots, f_{n}(x_1, x_2, \dots, x_{p})) n'est pas définie
• Dans le cas contraire, h(x_1, x_2, \dots, x_{p}) := g(f_1(x_1, x_2, \dots, x_{p}), f_2(x_1, x_2, \dots, x_{p}), \dots, f_{n}(x_1, x_2, \dots, x_{p}))

Propriétés

Exemples