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> [!definition] [[fonction partielle]]
> Une fonction partielle de $\mathbb{N}^{p} \to \mathbb{N}$ est un couple $(A, f)$ où $A \subseteq \mathbb{N}^{p}$ et $f$ est une [[application]] de $A \to \mathbb{N}$.
>  - i $A$ est appelé **domaine de définition** de la fonction
>  - i si $(a_1, a_2,\dots, a_{p}) \notin A$ on dira que la fonction **n'est pas définie** en $(a_1, a_2, \dots, a_{p})$
>  - so Deux fonctions partielles sont égales si elles ont le même domaine de définition, et si elles sont égales sur ce domaine
^definition

 - une fonction partielle définie partout est une [[fonction totale]]

> [!info] Notation
 > On notera :
 >  - $f$ pour désigner, le couple $(A, f)$
 >  - $\mathscr{F}^{*}_{p}$ l'ensemble des fonctions partielles de $\mathbb{N}^{p} \to \mathbb{N}$
 >  - $\mathscr{F}^{*} = \bigcup _{p \geq 0} \mathscr{F}_{p}^{*}$
 > 
 >  - ! on réservera le mot "fonction" aux [[fonction totale|fonctions totales]]
> 

# Définitions supplémentaires

> [!definition] Composée
> Soient $f_1, f_2, \dots, f_{n} \in \mathscr{F}_{p}$ et $g \in \mathscr{F}_{n}$ 
> La **fonction composée** $h = g(f_1, f_2, \dots, f_{n})$ est l'élément de $\mathscr{F}^{*}_{p}$ défini comme suit :
>  - $h(x_1, x_2, \dots, x_{p})$ n'est pas définie si l'une des $f_{i}(x_1, x_2, \dots, x_{p})$ n'est pas défini ou si, toutes l'étant, $g(f_1(x_1, x_2, \dots, x_{p}), f_2(x_1, x_2, \dots, x_{p}), \dots, f_{n}(x_1, x_2, \dots, x_{p}))$ n'est pas définie
>  - Dans le cas contraire, $h(x_1, x_2, \dots, x_{p}) := g(f_1(x_1, x_2, \dots, x_{p}), f_2(x_1, x_2, \dots, x_{p}), \dots, f_{n}(x_1, x_2, \dots, x_{p}))$

# Propriétés

# Exemples