69 lines
2.8 KiB
Markdown
69 lines
2.8 KiB
Markdown
---
|
|
up:
|
|
- "[[structure algébrique]]"
|
|
tags:
|
|
- "#s/maths/algèbre"
|
|
aliases:
|
|
- anneaux
|
|
---
|
|
|
|
> [!definition]
|
|
> Soit un ensemble $A$ et deux lois $+$ et $\times$
|
|
> $(A, +, \times)$ est un **anneau** ssi :
|
|
> - $(A, +)$ est un [[groupe abélien]]
|
|
> - $+$ est [[associativité|associative]], [[commutativité|commutative]]
|
|
> - il existe un [[élément neutre]] $0_{A}$ pour $+$
|
|
> - tous les éléments sont [[éléments inversibles|symétrisables]] par $+$
|
|
> - $(A, \times)$ est un [[monoïde]]
|
|
> - $\times$ est [[associativité|associative]]
|
|
> - il y a un [[élément neutre]] $1_{A}$ pour $\times$
|
|
> - $\times$ est [[distributivité|distributive]] par rapport à $+$ (à droite et à gauche)
|
|
> - $\forall (x; a; b) \in A, \quad x \times (a + b) = (x \times a) + (x \times b)$
|
|
^definition
|
|
|
|
```breadcrumbs
|
|
title: "Sous-notes"
|
|
type: tree
|
|
collapse: true
|
|
show-attributes: [field]
|
|
field-groups: [downs]
|
|
depth: [0, 2]
|
|
```
|
|
# Propriétés
|
|
|
|
> [!proposition]+ $0$ est un élément absorbant
|
|
> Soit $(A, +, \times)$ un anneau
|
|
> Soit $0_{A}$ l'élement neutre pour $+$
|
|
> $0_{A}$ est **absorbant**, c'est-à-dire que :
|
|
> $\forall a \in A,\quad a0_{A} = 0_{A}$
|
|
>
|
|
> > [!démonstration]- Démonstration
|
|
> > $a0_{A} = a(0_{A} + 0_{A}) = a0_{A} + a 0_{A}$
|
|
> > d'où suite que $a 0_{A} = 0_{A}$
|
|
|
|
> [!proposition]+ Distributivité généralisée
|
|
> Soient $m, n \in \mathbb{N}^{*}$
|
|
> Soient $(a_1, \dots, a_{n}) \in A^{n}$ et $(b_1, \dots, b_{n}) \in A^{n}$
|
|
> On a :
|
|
> $\left( \sum\limits_{i=1}^{m} a_{i}\right) \times \left( \sum\limits_{j=1}^{n}b_{j} \right) = \sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{n}(a_{i}b_{j})$
|
|
> > [!démonstration]- Démonstration
|
|
> > La démonstration se fait par double récurrence sur $m$ et sur $n$
|
|
|
|
> [!proposition]+ [[binôme de Newton|Binôme de Newton]]
|
|
> Soient $a, b \in A$ et $n \in \mathbb{N}$ on a :
|
|
> $(a+b)^{n} = \sum\limits_{i= 0}^{n} \binom{n}{i}a^{i}b^{n-i}$
|
|
> > [!démonstration]- Démonstration
|
|
> > $(a+b)^{n} = (a+b) \cdot (a+b)^{n-1}$
|
|
|
|
> [!proposition]+
|
|
> Si $a, b \in A$ et $a \times b = b \times a$ et $n \in \mathbb{N}^{*}$ alors :
|
|
> $a^{n} - b^{n} = (a-b) \sum\limits_{k=0}^{n-1}a^{k}b^{n-1-k}$
|
|
> > [!démonstration]- Démonstration
|
|
> > Réécrivons le terme de droite de manière développée :
|
|
> > $\begin{align} (a-b)\sum\limits_{k=0}^{n-1}a^{k}b^{n-1-k} &= (a-b)(a^{0}b^{n-1} + a^{1}b^{n-2} + \cdots + a^{n-2}b^{1}+a^{n-1}b^{0}) \\&= \bcancel{\color{deepskyblue}a^{1}b^{n-1}} + \bcancel{\color{chartreuse}a^{2}b^{n-2}}+\bcancel{\color{#ffaaff} a^{3}b^{n-3}} + \cdots + \bcancel{\color{orange} a^{n-1}b^{1}} +a^{n}b^{0} \\ &\quad \,- a^{0}b^{n} - \bcancel{\color{deepskyblue}a^{1}b^{n-1}} \bcancel{\color{chartreuse} - a^{2}b^{n-2}}- \cdots \bcancel{\color{#aaaaff}-a^{n-2}b^{2}} \bcancel{\color{orange}-a^{n-1}b^{1}} \\&= a^{n}b^{0} - a^{0}b^{n} \\&= \boxed{a^{n} - b^{n}} \end{align}$
|
|
> >
|
|
|
|
# Exemples
|
|
|
|
|