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up:: [[tribu]]
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#maths/intégration
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> [!definition] [[tribu trace]]
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> Soit $(E, \mathcal{A}, \mu)$ un [[espace mesurable]]
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> Soit $C \in \mathcal{A}$
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> On note $\mathcal{B} = \{ A \cap C \mid A \in \mathcal{A} \}$
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> $\mathcal{B}$ est une tribu sur $C$ appelée tribu **trace** de $\mathcal{A}$ sur $C$
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> > [!démonstration]- Démonstration : $\mathcal{B}$ est bien une tribu
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> > 1. $\emptyset \in \mathcal{B}$ car $\emptyset \in \mathcal{A}$ et $\emptyset \cap C = \emptyset$
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> > 2. Soit $B \in \mathcal{B}$. montrons que son complémentaire dans $C$ est dans $\mathcal{B}$
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> > $\complement_{C}^{B} = C \setminus B = C \cap B^{\complement}$
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> > $B \in \mathcal{B}$, donc $\exists A \in \mathcal{A}, \quad B = A \cap C$
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> > alors $C \setminus B = C \cap \underbrace{(A \cap C)^{\complement}}_{\in \mathcal{A}} \in \mathcal{B}$ par définition de $\mathcal{B}$
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> > Donc, $\mathcal{B}$ est bien stable par complémentaire
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> > 3. Soit $(B_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de $\mathcal{B}$
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> > Pour tout $n \in \mathbb{N}$, il existe $A_{n} \in \mathcal{A}$ tel que $B_{n} = C \cap A_{n}$ (par définition de $\mathcal{B}$)
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> > $\bigcup _{n\in\mathbb{N}} B_{n} = \bigcup _{n\in\mathbb{N}} \left( C \cap A_{n} \right) = C \cap \underbrace{\left( \bigcup _{n\in\mathbb{N}} \underbracket{A_{n}}_{\in \mathcal{A}}\right)}_{\in \mathcal{A}} \in \mathcal{B}$ par définition de $\mathcal{B}$
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> > Donc toute union d'éléments de $\mathcal{B}$ est bien dans $\mathcal{B}$, c'est-à-dire que $\mathcal{B}$ est stable par union.
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> >
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> > Alors, $\mathcal{B}$ est bien une tribu sur $C$
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^definition
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# Propriétés
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# Exemples
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