cours/transformations paramétrisées.md

up::courbe paramétrée #maths/analyse

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Des transformations du plan représentées comme fonction à composer à une courbe paramétrée. Puisqu'une courbe paramétrée est une application de D\subset\R dans \R^{2}, les transformations du plan sont des application de \R^2 dans \R^2 (c'est-à dire qu'a un point elles associent un point).

Liste des transformations

On se place dans le plan d'origine O. On note (Ox) la droite des abscisses et (Oy) celle des ordonnées.

translation

t_{\vec{u}} : (x, y) \mapsto (x+a, y+b) translation de vecteur \vec{u}(a;b)

Réflexions

• S_{O_{x}} : (x,y)\mapsto (x, -y) réflexion d'axe (Ox)
• S_{O_{y}}: (x,y)\mapsto (-x, y) réflexion d'axe (Oy)
• S_{D}:(x, y)\mapsto(y,x) réflexion d'axe la droite D:y=x
• S_{D'}:(x,y)\mapsto(-y,-x) réflexion d'axe la droite D:y=-x
• S_{D_{a}} : (x,y)\mapsto (2a - x, y) réflexion d'axe la droite D_{a}:x=a

Symétries centrales

• S_{O}:(x,y)\mapsto (-x,-y) symétrie centrale de centre O
  • S_{O} = S_{O_{x}} \circ S_{O_{y}} (voir transformations paramétrisées#Réflexions)
• S_{I} : (x, y)\mapsto (2a-x, 2b-y) symétrie centrale de centre I(a, b)

Rotations

• \text{rot}_{O, \frac{\pi}{2}}: (x,y)\mapsto (-y,x) rotation d'angle \frac{\pi}{2}
• \text{rot}_{O, -\frac{\pi}{2}}: (x,y)\mapsto (y,-x) rotation d'angle -\frac{\pi}{2}