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up:: groupe author:: Arthur Cayley #maths/algèbre

[!definition] théorème de cayley Soit (G, *) un groupe Soit a \in G Les applications \begin{align} \gamma :& G \to G\\ & b \mapsto a *b \end{align} et \begin{align} \delta :& G \to G \\& b \mapsto b*a \end{align} Sont des bijection ^definition

[!démonstration]- Démonstration

1. Montrons que \gamma est injection : Soient b, b' \in G tels que \gamma(b)=\gamma(b') Alors il existe un a tel que a*b=a*b', donc \underbrace{a^{-1}*a}_{e_{G}}*b=\underbrace{a^{-1}*a}_{e_{G}}*b', donc b=b'
2. Montrons que \gamma est surjection : Soit c \in G, on cherche b \in G tel que \gamma(b) = a*b=c l'élément b := a^{-1}*c convient, car a*b = \underbrace{a*a^{-1}}_{e_{G}}*c = c Donc, \gamma est surjection
3. Comme \gamma est injection et surjection, \gamma est bien une bijection

[!démonstration]- Autrement Soit (G, *) un groupe Soit b \in G Soit \begin{align} \gamma :& G \to G \\& x \mapsto b*x \end{align} et \begin{align} \delta :& G \to G \\& x \mapsto x * b \end{align} \gamma est une bijection car on trouve sont inverse : \gamma ^{-1} : x \mapsto b^{-1} *x. G est un groupe, donc b^{-1} \in G, et par associativité, on a bien \gamma^{-1} \circ \gamma (x) = b^{-1} *(b*x) = (b^{-1}*b)*x = e_{G}*x=x, quel que soit x \in G On procède de la même manière avec \delta dont l'inverse est \delta ^{-1} : x \mapsto x * b ^{-1} De la même mani

Propriétés

[!info] Principe du sudoku Le théorème de cayley implique que la table de cayley d'un groupe respectera touours la règle du sudoku : chaque ligne et chaque colonne contient exactement une fois chaque symbole.

Exemples

[!example] Exemple sur (\mathbb{Z}, +) Soit m \in \mathbb{Z}, L'application \begin{align} f :& \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \\& n \mapsto m+n \end{align} Est une bijection ^example-Z-plus

[!example] Exemple sur (\mathbb{R}^{*}, +) l'application $\begin{align} f :& \mathbb{R} \to \mathbb{R} \& x \mapsto \pi x \end{align}$ est une bijection ^example-R-plus

[!example] Exemple sur (\mathfrak{S}_{n}, \circ) soit \rho \in \mathfrak{S}_{n} les applications \begin{align} f :& \mathfrak{S}_{n} \to \mathfrak{S}_{n} \\& \sigma \mapsto \rho \circ \sigma \end{align} et \begin{align} g :& \mathfrak{S}_{n} \to \mathfrak{S}_{n} \\& \sigma \mapsto \sigma \circ \rho \end{align} sont des bijection ^example