cours/théorème de Newton.md

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algorithme de Newton

up::analyse author::Isaac Newton #maths/analyse

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[!definition] Théorème de Newton Soit f une fonction de \mathbb{R}^{+} dans \mathbb{R}^{+}, de classe d'une fonction \mathcal{C}^{1} Soit \alpha \in \mathbb{R} tel que f(\alpha) = 0 On crée la suite (x_{n})_{n\in\mathbb{N}} telle que : \begin{cases} x_{0}\in\mathbb{R}^{+}\\ x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}\end{cases}

On choisit x_{0} voisin de \alpha. Alors, (x_{n}) suite convergente vers \alpha, et la suite convergente est équation quadratique.

Remarque : pour trouver f, si \alpha est de la forme \alpha = g(a), alors on peut prendre f = g^{-1}(a) - a (on aura donc bien f(\alpha) = 0) ^definition

[!example] Exemple Calcul de \frac{1}{a} à l'aide du théorème de Newton.

On pose f(x) = \frac{1}{x} - a, on a bien f\left( \frac{1}{a} \right) = 0

On obtient f'(x) = - \frac{1}{x^{2}}

x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}. Si