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up::MOC arithmétique title::"$d = \mathrm{pgcd}(a;b) \implies \exists (u;v)\in \mathbb{Z}^{2}, au+bv=d$" #maths/arithmétique

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[!definition] Théorème de Bézout Soit (a, b)\in(\mathbb N^*)^2, Soit d = \mathrm{pgcd}(a; b), \exists(u, v)\in\mathbb Z^2, au+bv = d ^definition

C'est-à-dire que, soient deux nombres entiers naturels non nuls, il existe toujours une combinaison linéaire (a coefficients entiers relatifs) des deux nombre qui est égale au PGCD de ces deux nombres.

Ces deux coefficients, u et v, sont appelés coefficients de Bézout

Corollaires

Corollaire 1

Pour tout d\in\Z, si d\mid a et d\mid b, alors d\mid \text{pgcd}(a; b)

• Si d=0, d\not\mid a et d\not\mid b donc, on peut dire d\in\Z^*
• Démonstration :
  • d\mid au et d\mid bv donc d|au+bv soit d|\text{pgcd}(a;b)

Corollaire 2

deux entiers sont nombres premiers entre eux ssi il existe u, v\in\Z tels que au + bv = 1

• Démonstration :
  • on suppose qu'il existe u,b\in\Z tels que au+bv=1
  • comme \text{pgcd}(a;b)|a, alors \text{pgcd}(a;b)|au
  • de même, \text{pgcd}(a;b)|bv
  • donc \text{pgcd}(a;b)|au + bv
  • donc \text{pgcd}(a;b) = 1
  • dans l'autre sens, si a et b sont nombres premiers entre eux, leur \text{pgcd} est égal à un par définition

Lemme de Gauss

si a\mid bc et \text{pgcd}(a;b) = 1, alors a\mid c

• lemme de Carl Friedrich Gauss
• autrement dit : si a et b sont nombres premiers entre eux, alors a\mid bc \implies a\mid c