cours/symétrie orthogonale par rapport à une droite vectorielle.md

up::réflexion, droite vectorielle title::"p_{1} et p_{2} les projection d'un vecteur sur une droite vectorielle sur les droite vectorielle D_{1} et $D_{2}$", "$s_{1}(u) = p_{1}(u)-p_{2}(u)$" #maths/algèbre

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Dans un espace vectoriel orthonormé Une symétrie est une application qui fait la réflexion d'un vecteur par rapport à une droite vectorielle.

[!définition] Soit E un espace vectoriel Soit (u_{1}, u_{2}) \in E^{2} Soient D_{1}=\mathrm{Vect}(u_{1}) et D_{2}=Vect(u_{2}) deux droite vectorielle Soient p_{1} et p_{2} les projection d'un vecteur sur une droite vectorielle sur D_{1} resp. D_{2} On appelle symétrique par rapport à D_{1} et on note s_{1} l'application : \begin{align}s_{1} :\;& E \to E\\ & u \mapsto p_{1}(u) - p_{2}(u)\end{align} ^definition

[!definition] En 2 dimensions Soit D_{\alpha} la droite vectorielle d'angle \alpha

s_{D_{\alpha}} \;\widehat{=} \begin{pmatrix}\cos2\alpha & \sin2\alpha\\ \sin2\alpha & -\cos2\alpha\end{pmatrix}

Propriétés

Soient s_{1} et s_{2} des symétries

• la composition de fonctions de deux symétries est une rotation vectorielle

• s_{1} \circ s_{1} = \mathrm{id}

  • Donc : s_{1}^{-1} = s_{1}
  • Mnémo : le déterminant de s_1 est -1, et (-1) \times (-1) = 1 donc \text{symétrie}\times \text{symétrie} =\text{rotation}

• En dimension d'un espace vectoriel 2 :

  • le déterminant d'une matrice de symétrie est -1