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sibling:: infimum #maths/analyse

[!definition] supremum Soit A un ensemble Le suprémum de A, noté \sup(A) est le plus petits des majorants de A : Autrement dit :

• \forall x \in A, \quad x \leq \sup(A)
• \forall \varepsilon>0, \quad \exists x \in A, \quad x > \sup(A) - \varepsilon ^definition

Propriétés

[!proposition] Supremum et maximum Si un majorant de A est contenu dans A, alors c'est aussi un supremum. Autrement dit : si A admet un maximum, alors \sup(A) = \max(A)

[!proposition] Suprémum et opposé Soit -A = \{ -x \mid x \in A \} \boxed{\sup(-A) = - \inf(A)}

[!démonstration]- Démonstration Soit a \in -A, on pose a = -x (et alors, x \in A par définition). \begin{align} x \geq \inf(A) &\implies -x \leq -\inf(A) \\&\implies a \leq -\inf(A) \end{align} Donc -\inf(A) est bien un majorant de -A. Montrons que -\inf(A) est le plus petit des majorants de -A : Soit M un majorant de -A, on veut montrer que M \geq -\inf(A) Soit a \in -A, alors M \geq a Soit x = -a (et donc x \in A), on a : M \geq a \implies M \geq -x \implies -M \leq x donc -M est un minorant de A Mais le plus grand minorant de A est \inf(A), on a donc : \begin{align} M \leq \inf(A) \leq x &\implies -M \leq \inf(A) \\&\implies M \geq -\inf(A) \end{align} Donc -\inf(A) est bien plus petit que tout M, c'est donc le plus petit des majorants de -A. On a donc bien montré que -\inf(A) = \sup(-A)

[!proposition] Somme de \sup Soit A + B = \{ a+b \mid a \in A \wedge b \in B \} \boxed{\sup(A) + \sup(B) = \sup(A+B)}

[!démonstration]- Démonstration \big[ \forall (a, b) \in A\times B, \quad a \leq \sup(A) \wedge b \leq \sup(B) \big] \implies \big[ \big]

[!proposition] Produit de sup Soient A, B \subset \mathbb{R}^{+} avec \sup A < +\infty et \sup B < +\infty Soit A \cdot B = \{ a\cdot b \mid a \in A \wedge b \in B \} \boxed{\sup(A\cdot B) = \sup(A) \cdot \sup(B)}

• ! Attention : la propriété devient fausse avec les nombres négatifs