cours/suite de Cauchy.md

up::suite title::"les u_{n} pour n grand sont proches les uns des autres" #maths/analyse

---

[!definition] Suite de Cauchy Soit (u_{n})_{n} une suite On dit que (u_{n})_{n} est une suite de Cauchy ssi : \forall \varepsilon > 0, \quad \exists n_{0} \in \mathbb{N}, \quad \forall (n, m) \in \mathbb{N}^{2}, \quad (n \geq n_{0} \wedge m \geq n_{0}) \implies |u_{n}-u_{m}| \leq \varepsilon ^definition

Propriétés

• Sur \mathbb{R}, toute suite convergente est de cauchy
• Sur un ensemble complet, toute suite de cauchy est convergente
  • Exemple : \mathbb{Q} n'est pas complet, et certaines suites de cauchy sur \mathbb{Q} convergent vers un élément de \mathbb{R} mais pas de \mathbb{Q}