cours/sous espaces vectoriels supplémentaires.md

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supplémentaires

up::somme d'espaces vectoriels sibling::somme directe d'espaces vectoriels #maths/algèbre

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[!definition] Sous espaces vectoriels supplémentaires Soit E un $\mathbf{K}$-espace vectoriel Soient F et G deux sous espace vectoriel de E F et G sont supplémentaires dans $E$ ssi F \oplus G = E, c'est-à-dire qu'ils sont en somme directe d'espaces vectoriels dans E.

Par définition, F et G sont supplémentaires dans E ssi :

• F + G = E (leur somme d'espaces vectoriels reconstitue E)
• F \cap G = \{ 0_{E} \} (cette somme est somme directe d'espaces vectoriels) ^definition

[!definition] Autre définition F et G sont supplémentaires dans $E$ ssi tout élément de E s'écrit de manière unique comme la somme d'un élément de F et d'un élément de G

Définitions

• \forall w \in E, \exists!(u;v)\in F \times G, u+v = w

• F \cap G = \{0_{E}\} et F+G = E