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Forme des sommes de Riemann
Une somme de Riemann associée à la fonction f et à la Subdivision d'un intervalle (s_{0}, \dots, s_{n}) de [a, b] est une somme de la forme :
S(f) = \sum\limits_{k=0}^{m-1}f(\sigma_{k})(s_{k+1} - s_{k})
où \sigma _{k} \in [s_{k}, s_{k+1}] pour k \in [\![0; m[\![
S(f) est l'intégrale de la fonction en escalier adaptée à s et qui suit les valeurs de f
Donc, quand n \to +\infty, S(f) \to \int_{0}^{1} f(x) \, dx
Trouver la valeur d'une somme grâce aux somme de Riemann
Si on a une somme quelconque, on peut chercher à la transformer en somme de Riemann.
Pour cela, on commence par la factoriser par le pas de la subdivision (souvent \frac{1}{n}, \frac{b-a}{n} si l'intégrale est sur [a, b]).
Ensuite, on cherche à exprimer l'intérieur de la somme comme une fonction de \frac{k}{n} (où k est la variable de somme)
[!example] Exemple
\displaystyle S = \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{n}{n^{2}+k^{2}}on factorise par\frac{1}{n}:\displaystyle S = \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{n^{2}}{n^{2}+k^{2}}(factorisation forcée) on cherche ensuite à exprimer\frac{n^{2}}{n^{2}+k^{2}}comme une fonction de\frac{k}{n}:\displaystyle S = \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{1+\frac{k^{2}}{n^{2}}}donc :\displaystyle S = \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} f\left( \frac{k}{n} \right)oùf(x) = \frac{1}{1+x^{2}}Alors, on en déduit :\displaystyle \lim\limits_{ n \to \infty }S = \int_{0}^{1} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} \, dx = \left[ \arctan(x) \right]_{0}^{1} = \arctan(1)