cours/somme directe d'espaces vectoriels.md

alias

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directe somme directe

sibling:: sous espaces vectoriels supplémentaires up::somme d'espaces vectoriels title::"F \oplus G : E ssi :", " - F+G = E (somme d'espaces vectoriels)", " - F et G sont sous espaces vectoriels supplémentaires (toute décomposition est unique)" #maths/algèbre

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[!definition] Somme directe Soient E_{1}, E_{2}, E_3, \dots, E_{n}, n \in \mathbb{N}^{*}, des $\mathbf{K}$-espace vectoriel On dit que la somme E_1 + E_2 + E_3 + \cdots E_n est directe ssi tous les E_{k} sont deux-à-deux d'intersection nulle, c'est-à-dire que \forall (i, j) \in [\![1;n]\!]^{2}, \quad E_{i} \cap E_{j} = \{ 0 \}

En particulier, on dit que la somme de deux espaces E_1 + E_2 est directe ssi E_1 \cap E_2 = \{ 0 \} ^definition

[!definition] Autre définition de la somme directe Soient F et G deux espace vectoriel F+G est une somme directe ssi La décomposition d'un vecteur de F+G en un vecteur de F et un vecteur de G est unique : \forall w \in F+G, \quad \exists!(u;v)\in F \times G, \quad u+v = w

[!definition] Sous-espaces en somme directe dans un espace vectoriel Soient E_1, E_2, E_3, \dots, E_{n}, n \in \mathbb{N}^{*} des sous espace vectoriel d'un espace vectoriel E On dit que E_1, E_2, E_3, \dots, E_{n} sont en somme directe dans $E$ ssi :

• E_1+E_2+E_3+\cdots+E_{n} = E (ils sont en somme dans $E$)
• La somme E_1 + E_2+E_3+\cdots+E_{n} est somme directe d'espaces vectoriels, c'est-à-dire que les E_{k} sont deux-à-deux d'intersection nulle : \forall (i, j) \in [\![1;n]\!]^{2}, \quad E_{i} \cap E_{j} = \{ 0 \}

On note alors : \boxed{E_1 \oplus E_2 \oplus E_3 \oplus\cdots \oplus E_{n} = E}

[!info] Cas particulier : pour deux sous espace vectoriel Pour deux sous espace vectoriel F et G de E, On dit que F et G sont sous espaces vectoriels supplémentaires dans E pour dire F \oplus G = E

Propriétés

Soient E = F \oplus G

• la famille de vecteurs formée par l'union de deux base d'un espace vectoriel de F et G est famille de vecteurs libre
  • il n'y a pas de vecteur en commun entre F et G autre que le vecteur nul