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signature

up:: forme quadratique title:: "(# coefficients positifs, # coefficients négatifs) dans la réduction de Gauss d'une forme quadratique"" #maths/algèbre

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[!definition] signature d'une forme quadratique Soit \psi une forme quadratique. La signature de \psi est le couple d'entiers qui contient :

1. le nombre de signes positifs devant les carrés
2. le nombre de signes négatifs devant les carrés dans la réduction de Gauss d'une forme quadratique ^definition

Exemples

[!example] Exemple Soit \psi \left( \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \right) = x^{2} + 4xy + 2y^{2} = \underbrace{(x+2y)^{2} - 2y^{2}}_{\text{forme de Gauss}} Dans la forme de Gauss, on a 1 parenthèse avec un signe positif, et 1 parenthèse avec un signe négatif, donc la signature est : \boxed{(1, 1)}

[!example] Exemple Soit \phi \left( \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \right) = x^{2} - 3y^{2} + 4z^{2} +2xy - 4xz - 8yz = \underbrace{\underbracket{\;\;\;}_{+}(x+y+2z)^{2} \underbracket{-} (2y + z)^{2} \underbracket{+} z^{2}}_{\text{forme de Gauss}} Dans la forme de Gauss, on a 2 parenthèses avec un signe positif, et 1 parenthèse avec un signe négatif, donc la signature est : \boxed{(2, 1)}

Propriétés

Soit E un $\mathbf{K}$-espace vectoriel Soit \psi une forme quadratique de E \to \mathbf{K} Soit (a, b) la signature de \psi

• \psi est une norme ssi sa signature est (a,\; 0) avec a = \dim E

  • Si il y à des termes négatifs, elle ne sera pas forme quadratique positive
  • Si a < \dim E, (elle est forme quadratique dégénérée) elle ne sera pas forme quadratique définie

• \psi est forme quadratique définie ssi sa signature est (n, 0) ou (0, n) avec n = \dim E

  • une forme forme quadratique définie est toujours forme quadratique positive ou forme quadratique négative
  • n = \dim E veut dire qu'elle est forme quadratique non dégénérée