cours/série de fonctions citère de Cauchy.md

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critère de Cauchy pour une série de fonctions critère de Cauchy règle de Cauchy

up:: série de fonctions convergence title:: "série CVA ssi son reste $R_{N} \leq \text{cste} \times \sum\limits_{n=N+1}^{+\infty} (q^{n})$", "CVA ssi $\underset{n \to \infty}{\lim\sup} \left| \frac{f_{n+1}}{f_{n}} \right| < 1$" #maths/analyse

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[!definition] critère de Cauchy Soit \displaystyle \sum _{ n = 1 } ^{ + \infty } \left( f _{ n } \left( x \right) \right) une série de fonctions. Soit R_{N} = \sum\limits_{n=N}^{+\infty} (f_{n}(x)) le reste d'une série de cette série. On sait que la série converge seulement si : |R_{N}| \leq \text{cste} \times \sum\limits_{n=N+1}^{+\infty} (q^{n}) avec q < 1 ^definition

[!definition] Critère inverse Si |R_{N}| \geq \text{cste}\times \sum\limits_{n=N+1}^{+\infty} (q^{n}) avec q\geq1 alors la série de reste (R_{N}) diverge.

[!definition] Définition calculatoire Soit (f_{n})_{n} une suite de fonctions Soit L = \underset{n \to \infty}{\lim\sup} |f_{n}|^{\frac{1}{n}} (on a 0 \leq L \leq +\infty)

• Si L < 1, alors \sum\limits_{n}f_{n} série de fonction convergence absolue
• Si L > 1, alors \sum\limits_{n}f_{n} diverge, car son terme général ne tend pas vers zéro
• Si L = 1, alors on ne sait rien