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up:: série trigonométrique author:: Joseph Fourier title:: #maths/analyse

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[!definition] Série de Fourier Soit f une fonction continue par morceaux de fonction périodique 2\pi On pose :

• \displaystyle a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx
• \displaystyle a_{n} = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi }^{\pi } f(x) \cos(nx) \, dx
• \displaystyle b_{n} = \frac{1}{\pi } \int _{-\pi }^{\pi } f(x)\sin(nx) \, dx

Soit, la série trigonométrique :

\boxed{SF_{f}(x) =\frac{a_{0}}{2} + \sum\limits_{n \geq 1} a_{n}\cos(nx) + b_{n}\sin(nx)}

On sait que, si SF_{f} série de fonctions convergence, alors elle converge vers f

• (a_{n}) et (b_{n}) sont appelés les coefficients de fourier de f ^definition

[!idea]- Pourquoi cette formule (a_{n}) et (b_{n}) servent à décomposer f en série trigonométrique.

Le coefficient devant les intégrales sert à les ramener à une période de 1 (c'est une sorte de moyenne sur la période). Il n'est pas de 2\pi car la Formules d'Euler pour le fonction cosinus contient déjà une division par 2.

• [!] Il ne faut pas oublier de diviser par 2 le premier terme, a_0, car il ne contient pas de \cos

[!idea]- Intuition On peut voir la transformée de Fourier comme l'écriture d'une fonction dans une base \cos(x), \sin(x), \cos(2x), \sin(2x), \cos(3x)\dots.

C'est similaire à l'écriture d'une fonction comme une série entière (dans ce cas, c'est dans une base x, x^{2}, x^{3}, x^{4}\dots)

[!definition] Forme exponentielle complexe On peut aussi exprimer la décomposition SF_{f}(x) avec une somme comme suit :

\boxed{SF_{f}(x) = \sum\limits_{n=-\infty }^{+\infty} \alpha _{n}e^{ inx }}

[!query] Sous-notes de =this.file.link

LIST title
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WHERE any(map([up, up.up, up.up.up, up.up.up.up], (x) => econtains(x, this.file.link)))
WHERE file != this.file
SORT up!=this.file.link, up.up.up.up, up.up.up, up.up, up, file.name