1.7 KiB
sr-due, sr-interval, sr-ease
| sr-due | sr-interval | sr-ease |
|---|---|---|
| 2022-10-04 | 4 | 274 |
up::système linéaire #maths/algèbre
Résolution par substitution
On cherche a exprimer une variable en fonction d'une autre, puis on remplace des expressions des variables ainsi trouvées.
Méthode du pivot de Gauss
Exemple
(S): \left\{ \begin{array}{rcllr} x&+y&+7z&=-1&L_1\\ 2x&-y&+5z&=-5&L_2\\ -x&-3y&-9z&=-5&L_3 \end{array} \right.
On transforme (S) en un système équivalent lorsque l'on effectue l'une des opérations suivantes :
a. Interversion des lignes L_i et L_j; on écrit L_i \leftrightarrow L_j
b. Multiplication de L_i par un nombre \lambda \neq 0; on écrit \lambda L_x \rightarrow L_i (qui se lit "\lambda L_i remplace $L_i$")
c. Remplacement de L_i par L_i + \mu L_j, où \mu est un nombre réel, et j\neq i; on écrit L_i + \mu L_j \rightarrow L_i
La méthode du pivot de Gauss consiste à transformer à l'aide de ces 3 règles le système (S) en un système équivalent "écholonné", c'est-à-dire où la variable x n'apparaît plus L_1 et L_2, et où y n'apparaît plus dans L_2.
On a
$$\begin{aligned}
\left{\begin{array}{rrrrr}x&+y&+7z&=&-1\ 2x&-y&+5z&=&-5\ -x&-3y&-9z&=&-5 \end{array}\right.
\iff
\left{\begin{array}{rrrrrl}x&+y&+7z&=&-7&(L_1\rightarrow L_1)\ &-3y&-9z&=&-3&(L_2-2L_1\rightarrow L_2)\ &-2y&-2z&=&-6&(L_3+L_1\rightarrow L_3) \end{array}\right.\
\iff
\left{\begin{array}{rrrrrl}x&+y&+7z&=&-7&(L_1\rightarrow L_1)\ &-3y&-9z&=&-3&(L_2-2L_1\rightarrow L_2)\ &-2y&-2z&=&-6&(L_3+L_1\rightarrow L_3) \end{array}\right.\
\end{aligned}$$