cours/quaternions.md

up::algèbre #maths/algèbre

---

L'ensemble \mathbb{H} des quaternions peut être défini comme l'algèbre associative sur le corps des nombres réels \mathbb{R} engendrée par les 3 éléments i, j et k, satisfaisant les quaternions#Relations quaternioniques : i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1.

Définitions

On peux définir les quaterions comme l'ensemble : \mathbb{H} = \left\{\left.\begin{pmatrix}y&z\\-\overline{z}&\overline{y}\end{pmatrix} \right| (y, z)\in\mathbb{C}^2\right\} muni de la multiplication de matrices. On peux alors montrer les rela

Propriétés

Relations quaternioniques

• i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1

table de cayley des quaternions

\times		\mathbb 1	i	j	k
\mathbb1		\mathbb1	i	j	k
i		i	-\mathbb1	k	-j
j		j	-k	-\mathbb1	i
k		k	j	-i	-\mathbb1

Exercice

L'ensemble des quaternions est l'ensemble : \mathbb{H} = \left\{\left.\begin{pmatrix}y&z\\-\overline{z}&\overline{y}\end{pmatrix} \right| (y, z)\in\mathbb{C}^2\right\} On note \mathbb{H}^* l'ensemble \mathbb{H} privé de \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} On pose : \mathbb{1}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, i = \begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}, j=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}, k=\begin{pmatrix}0&-i\\-i&0\end{pmatrix}

1. Montrer que \mathbb{H}^* est un sous-groupe \text{GL}_2(\mathbb{C}) (le groupe linéaire de matrices inversible 2\times2 à coefficients dans \mathbb{C})
2. verrifier que :
   • i^2 = j^2 = k^2 = -1, ij=k, ik=-j, ji=-k, jk=i, ki=j, kj=-i
3. montrer que le groupe engendré par 1, i, j, k est d'ordre 8. On appelle ce groupe H_8
4. montrer que ces groupes sont deux-à-deux non-isomorphes : (H_8, \times), (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, \dot+), (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/4\mathbb{Z},\dot+), (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z},\dot+)