cours/propriété d'Archimède.md

up::MOC arithmétique title:: "$\forall b \in \mathbb{N}^{*}, \quad \forall a \in \mathbb{N}, \quad \exists k \in \mathbb{N}, \quad kb > a$" #maths/arithmétique

---

[!definition] Propriété d'Archimède Soit b \in \mathbb{N}^{*} Pour tout a \in \mathbb{N} \exists k \in \mathbb{N}, kb > a C'est-à-dire que l'on peut multiplier b pour obtenir un nombre plus grand que a ^definition

Démonstration

Soit b\mathbb{N} l'ensemble des multiples de b : b\mathbb{N} = \{ kb \mid k \in \mathbb{N} \} Soit \mathbf{B}_{a} = \{ x \in b\mathbb{N} \mid x \leq a \} l'ensemble des nombres de b\mathbb{N} inférieurs à a

• \mathbf{B}_{a} est non-vide, car il contient 0
• \mathbf{B}_{a} est majoré (par a) Donc, \mathbf{B}_{a} admet un plus grand élément. Soit m = qb ce plus grand élément. On sait que, pour tout k \in \mathbb{N} avec k > q, on a kb > qb Or, kb \in b\mathbb{N} et kb > m, donc kb n'est pas dans \mathbf{B}_{a}, d'où \boxed{kb > a}