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up::vecteur
title::$\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}\wedge \begin{pmatrix}x'\y'\z'\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}yz'-y'z\zx'-z'x\xy'-x'y\end{pmatrix}$
description::"u \wedge v \wedge w = volume du parallélépipède porté par $u, v, w$"
#maths/géométrie #maths/algèbre
Le produit vectoriel de deux vecteur \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} est noté :
\overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v}
[!definition]
\displaystyle \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} x'\\y'\\z'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} yz' - y'z\\zx'-z'x\\xy'-x'y \end{pmatrix}
- [!] le produit vectoriel n'existe que pour des vecteur en dimension 3
- [i] le produit vectoriel n'est pas associativité ni commutativité ^definition
[!idea] Calcul !produit vectoriel 2022-12-28 18.55.05.excalidraw
Propriétés
-
u \wedge v = -(v \wedge u)- vient des propriétés du déterminant d'une matrice (inverser deux colonnes fait l'oppposé)
-
u \wedge u = \vec{0}- obligatoire car un déterminant d'une matrice avec 2 colonnes identiques est nul
- obligatoire car
(u \wedge u) = -(u \wedge u)par inversion
-
(u \wedge v) \bot uet(u \wedge v) \bot v- le produit vectoriel permet de trouver un nouveau vecteur vecteurs orthogonaux à deux autres
-
(a + b) \wedge v = (a \wedge v) + (b \wedge v)le produit vectoriel est distributivité (des deux côtés) -
\|\vec{u} \wedge \vec{v}\| = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \sin\left( \widehat{\vec{u}, \vec{v}} \right)- analogue au produit scalaire, mais avec un
\sinà la place du\cos - la direction est connue car
(u \wedge v) \bot uet(u \wedge v) \bot v
- analogue au produit scalaire, mais avec un
-
\|u \wedge v \wedge w\| = \left| \det \left( u; v; w \right) \right|(voir l'produit vectoriel#Interprétation géométrique)
Interprétation géométrique
La norme du produit vectoriel de 3 vecteurs donne le volume d'un parallélépipède (non nécessairement rectangle) dont les côtés portent ces 3 vecteurs
Cela fonctionne aussi en dimension 2, avec deux vecteurs sur un même plan.