cours/produit de Cauchy.md

alias: [ "produit de séries entières" ]

up:: série entière, produit de séries title:: "$\left( \sum\limits_{i \geq 0}\left( a_{i}x^{i} \right) \right) \cdot \left( \sum\limits_{j \geq 0}(b_{j}x^{j}) \right) = \sum\limits_{i \geq 0} \left( \sum\limits_{j=0}^{i} \left( a_{j}b_{i-j} \right) ; x^{i} \right)$" #maths/analyse

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[!definition] produit de Cauchy Soient \sum\limits_{i\geq 0} \left( a_{i}x^{i} \right) et \sum\limits_{j \geq 0} \left( b_{j}x^{j} \right) deux série entière On peut calculer le produit de ces deux séries : \left( \sum\limits_{i\geq 0}\left( a_{i}x^{i} \right) \right) \cdot \left( \sum\limits_{j \geq 0} \left( b_{j} x^{j} \right) \right) = \sum\limits_{\substack{i \in \mathbb{N}\\j \in \mathbb{N}}} \left( a_{i}b_{j}x^{i+j} \right) = \boxed{\sum\limits_{i=0}^{+\infty } \left( \sum\limits_{j=0}^{i} \left( a_{j}b_{i-j} \right) \; x^{i} \right)} ^definition