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up::[[polynôme]]
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#maths/algèbre #maths/analyse
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Soit $P$ un [[polynôme]] dans $A[X]$
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$P$ est _premier_ si :
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- il n'est **pas nul**
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- il n'est pas [[polynôme inversible|inversible]]
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- pour tout produit $QS$ divisible par $P$, l'un des deux polynômes $Q$ ou $S$ est [[division de polynômes|divisible]] par $P$
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- $\forall Q,S\in A[X], P|QS \implies (P|Q) \vee (P|S)$
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Autrement dit, $P\in A[X]$ est premier si :
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- $P$ est [[polynôme irréductible|irréductible]] :
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- $P\neq \mathbb 0$
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- $\nexists Q\in A[X], PQ = \mathbb{1}$
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- $\begin{align} f :& A[X] \rightarrow \mathbb{B}\\ & x \mapsto P|x \end{align}$ est un [[morphisme]] de $(A[X], \times)$ vers $(\mathbb{B}, \vee)$
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# Propriétés
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- Tout [[polynôme premier]] est [[polynôme irréductible|irréductible]]
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- Dans un [[anneau factoriel]] (dans $A[X]$ si a est [[anneau factoriel|factoriel]]), la notion de [[polynôme premier]] et de [[polynôme irréductible]] sont équivalentes
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