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up::[[géométrie]]
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#maths/géométrie
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Un **polygone** est une figure géométrique plane formée d'une _ligne brisée_ **fermée**, c'est-à-dire d'une suite cyclique de segments consécutifs
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# Propriétés
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## Ordre d'un polygone
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L'ordre d'un polygone est le nombre de ses côtés (c'est évidemment aussi le nombre de ses sommets ou de ses angles)
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### Elements opposés
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Soit $n$ l'ordre d'un polygone
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- Si $n$ est pair
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- les sommmets séparés par $\frac{n}{2}$ côtés sont dits **opposés** entre eux
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- même chose pour les angles
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- même chose pour les côtés
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- Si $n$ est impair
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- les côtés sont **opposés** aux angles, et vice-versa
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- formellement : chaque côté est opposé a l'angle situé $\frac{n-1}{2}$ sommets plus loin
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## Diagonales
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Une **diagonale** d'un polygone est un segment qui joint deux sommets **non consécutifs** d'un polygone.
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Un polygone d'[[polygone#Ordre d'un polygone|ordre]] $n$ possède $\disp \binom{n}{2}-n = \frac{n(n-3)}{2}$ diagonales
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# Typologie des polygones
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## Classement par convexité
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### Polygone croisé
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Un polygone est dit **croisé** si au moins deux de ses côtés sont sécants, c'est-à-dire si au moins deux de ses côtés non consécutifs se coupent.
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### Polygone simple
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Un polygone est dit **simple** si deux cotés non consécutifs ne se coupent pas et si deux côtés consécutifs n'ont en commun qu'un de leurs sommets.
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### Polygone convexe
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Un polygone est dit **convexe** si son intérieur est [[convexité|convexe]], c'est-a-dire si toutes ses [[polygone#Diagonales|diagonales]] sont entièrement dans son intérieur.
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Exemple : Pentagone non-convexe
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![[polygone 2022-07-26 16.40.43.excalidraw|200]]
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Les diagonales en rouge ne sont pas à l'intérieur du polygône.
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## Classement par symétries
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### Notion d'élément de symétrie
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Les _symétries d'un polygone d'ordre $n$_ sont les [[isométrie affine|isométries affines]] du [[plan euclidien]] qui [[permutation|permutent]] à la fois ses $n$ sommets et ses $n$ côtés.
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Une telle [[application affine]] [[point fixe|fixe]] nécessairement l'[[isobarycentre]] $G$ des somments, donc ne peut être que de deux types :
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- une [[symétrie axiale]] dont l'axe passe par $G$
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- une [[rotation]] de centre $G$ dont l'angle est multiple de $\frac{2\pi}{n}$
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### Polygone régulier
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Un polygone **régulier** si il est _équilatéral_ (côtés égaux) et _équiangle_ (angles égaux).
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Un polygone d'ordre $n$ est **régulier** si il est le "plus symétrique possible", c'est-à-dire que son [[groupe de symétrie]] est $D_n$ (un [[groupe diédral]]).
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### Symétrie axiale
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Le groupe de symétrie est [[groupe diédral|diédral]]
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