68 lines
2.3 KiB
Markdown
68 lines
2.3 KiB
Markdown
---
|
|
sr-due: 2023-02-14
|
|
sr-interval: 192
|
|
sr-ease: 295
|
|
alias: [ "permuter" ]
|
|
---
|
|
up::[[algèbre]]
|
|
#maths/algèbre
|
|
|
|
----
|
|
Une _permutation_ représente le réarrangement d'objets.
|
|
|
|
# Définition
|
|
Une permutation est une [[bijection]] d'un ensemble dans lui-même.
|
|
Notamment, une permutation de $n\in\mathbb N$ éléments est une [[bijection]] d'un ensemble fini de [[cardinal d'un ensemble|cardinal]] $n$ sur lui-même.
|
|
|
|
On parle généralement des permutations sur un intervalle $[\![1;n]\!]$.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
# Notation
|
|
On note $\mathfrak S_n$ l'ensemble des permutations sur $[\![1;n]\!]$.
|
|
|
|
un élément $\sigma\in\mathfrak S_n$ se note :
|
|
$\begin{pmatrix}1&2&\cdots&i&\cdots&n\\\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(i)&\cdots&\sigma(n)\end{pmatrix}$
|
|
|
|
- exemple de permutations sur $\mathfrak S_3$ :
|
|
- - permutation identité :
|
|
- $id_3: \begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}$
|
|
- ici, $id(1) = 1$, $id(2)=2$, $id(3)=3$
|
|
- - autres permutations :
|
|
- $s_1: \begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}$
|
|
|
|
- $s_2: \begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}$
|
|
|
|
- $s_3: \begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}$
|
|
|
|
- $s_4: \begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}$
|
|
|
|
- $s_5: \begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}$
|
|
|
|
- $s_6: \begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}$
|
|
|
|
- Soient $(\sigma, \phi)\in(\mathfrak S_n)^2$, on note $\sigma\circ \phi$ la [[composition de permutations|composition des permutations]] $\sigma$ et $\phi$, qui est l'application **d'abord de $\phi$** puis de $\sigma$
|
|
- elle est équivalente à la composition des fonctions associées
|
|
- $\sigma^n$ la composée $n$ fois de $\sigma$ avec elle-même
|
|
- $\sigma^0 = id$
|
|
- $\sigma^1 = \sigma$
|
|
- $\sigma^n = \sigma\circ\sigma^{n-1}$
|
|
|
|
- Permutation réciproque : $\sigma^{-1}$
|
|
- $\forall n, \sigma(\sigma^{-1}(n)) = \sigma^{-1}(\sigma(n)) = n$
|
|
- comme une généralisation de $\sigma^n$
|
|
- parce que cela correspond à la [[fonction réciproque]] (notée $f^{-1}$ aussi)
|
|
|
|
|
|
# Propriétés
|
|
|
|
> [!query] Sous-notes de `=this.file.link`
|
|
> ```dataview
|
|
> LIST title
|
|
> FROM -#cours AND -#exercice AND -"daily" AND -#excalidraw AND -#MOC
|
|
> WHERE any(map([up, up.up, up.up.up, up.up.up.up], (x) => econtains(x, this.file.link)))
|
|
> WHERE file != this.file
|
|
> SORT up!=this.file.link, up.up.up.up, up.up.up, up.up, up
|
|
> ```
|