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up::permutation #maths/algèbre
Le nombre d'inversions d'une permutation \sigma\in\mathfrak S_n est le nombre de couples (i, j)\in[\![1; n]\!] tels que i<j et \sigma(i) > \sigma(j), c'est-à-dire que la permutation \sigma "inverse le sens" de i et de j.
Définition formelle
Soit \sigma\in\mathfrak S_n avec n\in[\![2; +\infty[\![
Soit I(\sigma) le nombre d'inversions de \sigma
I(\sigma) = \left| \{(i,j)\in[\![1;n]\!] \;|\; [i<j]\wedge[\sigma(i)>\sigma(j)]\} \right|
Propriétés
Soit I(\sigma) le nombre d'inversions de \sigma, (-1)^{I(\sigma)} = \varepsilon(\sigma), où \varepsilon désigne la signature d'une permutation.
Méthode de calcul
On cherche l'ensemble des couple de nombres dans [\![1; n]\!] tels que le premier est strictement inférieur au second (soit \{(a, b)\in[\![1; n]\!] \;|\; a < b\}).
Le nombre de couples respectant cette propriété est \displaystyle\binom{n}{2} = \frac{n!}{2!(n-2)!}
Dans notre exemple, \sigma\in\mathfrak S_7, donc on cherche \displaystyle\binom{7}{2} = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{6\times7}{2} = 3\times7 = 21
On écrit ensuite ces 21 couples dans un tableau, et on regarde quels couples sont inversés par la permutation.
$$\begin{array}{r|l} \text{Permutation} & \text{Image} & \text{Signe} \\hline (1,2) & (1,7) & + \longrightarrow 1 < 7\ (1,3) & (1,6) & + \longrightarrow 1 < 6\ (1,4) & (1,4) & +\ (1,5) & (1,3) & +\ (1,6) & (1,5) & +\ (1,7) & (1,2) & +\ (2,3) & (7,6) & - \longrightarrow 7 > 6\ (2,4) & (7,4) & -\ (2,5) & (7,3) & -\ (2,6) & (7,5) & -\ (2,7) & (7,2) & -\ (3,4) & (6,4) & -\ (3,5) & (6,3) & -\ (3,6) & (6,5) & -\ (3,7) & (6,2) & -\ (4,5) & (4,3) & -\ (4,6) & (4,5) & +\ (4,7) & (4,2) & -\ (5,6) & (3,5) & +\ (5,7) & (3,2) & -\ (6,7) & (5,2) & -\ \end{array}
Ici, le signe $+$ marque les [[transposition|transpositions]] qui ne sont pas inversées, quand le signe $-$ marque les inversions.