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multiplicité ordre d'une racine ordre

up::racines d'un polynôme title:: "pour une racine $r$", "n tel que P^{(n-1)}(r) = 0 et $P^{(n)}(r) \neq 0$" #maths/analyse

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[!definition] ordre d'une racine d'un polynôme Soit P un polynôme Soit r une racines d'un polynôme de P l'ordre de r est le plus grand n tel que r est une racine de P^{(n-1)} (dérivées successives) C'est aussi le plus petit n tel que P^{(n)}(r) \neq 0 Sous forme factorisée, c'est la puissance du terme qui s'annule en r ^definition

[!definition] Soit P un polynôme de polynôme#Degré n On sait que P(x) = \prod\limits_{k=0}^{n} (x - a_{k}) (forme factorisée) Où a_k une suite dont les valeurs sont les racines d'un polynôme de P

Une racine r est de multiplicité m si elle apparaît exactement m fois dans les coefficients a_{k} (pour k\in[\![1;n]\!]) Soit si elle apparaît m fois dans la factorisation de P

Propriétés

Racine simple

Une racine est simple ssi sa multiplicité est 1

Nombre de racines

théorème de d'Alembert Si on compte une racine de multiplicité m comme m racines Le nombre de racines est toujours égal au polynôme#Degré d'un polynôme

Dérivation

Soit r une racine du polynôme P La racine r est de multiplicité d'une racine n si et seulement si r est aussi racine de la dérivées successives de P :

r \text{ est de multiplicité } n \iff P^{(n)}(r)=0

On peut utiliser cette propriété pour trouver la multiplicité d'une racine