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orthogonale

up:: matrice title:: "$,^T!M M = Id$" #maths/algèbre

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[!definition] Matrice orthogonale Soit \mathbf{K} un corps Soit M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbf{K}) la matrice associée à une application linéaire M est orthogonale ssi \boxed{^T\!M\cdot M = Id_{n}}

• [i] On montre que les matrices orthogonales sont les matrices composées de vecteurs unitaires. ^definition

[!definition] Définition géométrique Une matrice orthogonale est la matrice d'une base orthonormée.

C'est-à-dire que tous ses vecteurs sont vecteur unitaire et deux-à-deux vecteurs orthogonaux

• [!] Une matrice orthogonale correspond à des vecteurs base orthonormée (on devrait dire "matrice orthonormale")

Propriétés

Soit M une matrice orthogonale Soient u et v des vecteurs

• \det M = \pm1

• sur un espace euclidien :

  • \|u\| = \left\| Mu \right\| conserve la norme
  • u.v = (Mu) . (Mv) conserve le produit scalaire
    • on en déduit u \bot v \iff (Mu) \bot (Mv)

• les vecteurs des colonnes (resp des lignes) de M sont tous :

  • vecteur unitaire
  • deux-à-deux vecteurs orthogonaux

• conservation de la norme : \|M u\| = \|u\|

• conservation du produit scalaire : \langle Mu, Mv \rangle = \langle u, v \rangle

• l'endomorphisme associé à M est endomorphisme normal

• Toute matrice orthogonale est :

  • soit une matrice de rotation
  • soit une matrice de symétrie