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up::matrice, symétrie vectorielle orthogonale sibling:: matrice de rotation title:: #maths/algèbre

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[!definition] Matrice de rotation Une matrice de symétrie est une matrice orthogonale de déterminant d'une matrice -1

[!idea]- Intuition Il semble logique que déplacer une base d'un espace vectoriel en conservant les norme et les produit scalaire soit une matrice de rotation ou une matrice symétrique (c'est démontrable). Le déterminant de -1 sert à ne prendre que les symétries. ^definition

[!definition] Définition géométrique Soit \mathbf{K} un corps Soit M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbf{K}) une matrice M est une matrice de symétrie ssi l'matrice associée à une application linéaire à M (f) est une symétrie vectorielle orthogonale

Propriétés

Soit S la matrice de symétrie d'angle \theta

• l'angle \theta est l'angle entre un vecteur et son image (donc le double de l'angle entre le vecteur et l'axe)
• S \text{ est une symétrie } \iff \det S = -1

Types de matrices de symétrie

En dimension 2

[!definition] Matrice de symétrie en 2D La symétrique d'angle \theta (angle entre le vecteur et son symétrique) correspond à la matrice :

\begin{pmatrix}\cos \theta & \sin \theta\\ \sin \theta & -\cos \theta \end{pmatrix}

• [!] l'angle \theta est l'angle entre \vec{e_1} et s(\vec{e_1}) mais n'est pas égal à l'angle entre \vec{e_2} et s(\vec{e_2}) (qui est \pi-\theta)