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matrice associée à une forme bilinéaire matrice associée

up:: forme bilinéaire, matrice title:: "$M_{i,j} = f(e_{i}, e_{j})$" #maths/algèbre

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[!definition] matrice d'une forme bilinéaire Soit E un $\mathbf{K}$-espace vectoriel de dimension d'un espace vectoriel n muni d'une base \mathcal{B} = (e_1, e_2, \dots, e_{n}) Soit f une forme bilinéaire de E^{2} \to \mathbf{K} La matrice de f dans la base $\mathcal{B}$ est : M = \begin{pmatrix}f(e_{1}, e_{1}) & f(e_1, e_2) & \cdots & f(e_1, e_{n})\\ f(e_2, e_1)&f(e_2,e_2)&\cdots&f(e_2,e_{n})\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ f(e_{n},e_1)&f(e_{n},e_2)&\cdots&f(e_{n},e_{n})\end{pmatrix} Soit : M_{i,j} = f(e_{i}, e_{j}) ^definition

Explication

Soit f une forme bilinéaire de matrice M

On a (par définition) :

f((x_1, x_2, \dots,x_{n}), (y_1,y_2,\dots,y_{n})) = \begin{pmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_{n}\\\end{pmatrix} \times M \times \begin{pmatrix}y_1\\ y_2 \\ \vdots \\ y_{n}\end{pmatrix}

!matrice d'une forme bilinéaire 2023-01-23 19.58.05.excalidraw