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up::matrice #maths/algèbre
matrice d'un vecteur dans une base
Soit E un espace vectoriel réel de dimension d'un espace vectoriel n,
Soit \scr B = \{e_1,\ldots,e_n\} une base d'un espace vectoriel de E,
Un vecteur x de E se décompose de façon unique sous la forme x = x_1e_1+\cdots+x_ne_n avec (x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n
\mathrm{Mat}_{\scr B}(x) = [x]_{\scr B} = \begin{pmatrix} x_1\\\vdots\\x_n \end{pmatrix}
Propriétés
L'application x\mapsto [x]_{\scr B} est application linéaire de E dans \mathbb{R}^n.
Exemple
Les vecteurs u_1 = \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}, u_2 = \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}, u_3 = \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} forment une base d'un espace vectoriel de \mathbb{R}^3
Le vecteur v = \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} se décompose sous la forme xu_1+yu_2+zu_3, soit :
\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}
d'où \left\{\begin{array}{rl} & y & +z & = 1\\ x & & +z & = 1\\ x & +y & & = 1 \end{array}\right.
Par la méthode du pivot de Gauss, on obtient x = y = z = \frac12. Les coordonnées de v dans la base \scr B sont donc \left(\frac12,\frac12,\frac12\right), ce qui s'écrit encore :
\mathrm{Mat}_{\scr B}(v) = [v]_{\scr B} = \begin{pmatrix} \frac12\\\frac12\\\frac12 \end{pmatrix}