cours/limite supérieure d'une suite.md

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lim sup limite sup limite supérieure

sibling:: limite inférieure d'une suite

up::suite sibling::limite inférieure d'une suite title::"\sup\big\{u_{n} \mid n>k\big\} quand $k \to +\infty$" #maths/analyse

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Soit (x_{n}) une suite réelle On appelle limite supérieure de $(x{n})$_ le nombre L \in \overline{\mathbb{R}} le nombre tel que :

• Quelque soit \lambda < L, l'ensemble des n \in \mathbb{N} tels que x_{n} > \lambda est infini
• Quelque soit \lambda > L, l'ensemble des n \in \mathbb{N} tels que x_{n} > \lambda est fini

On note : \lim\sup\limits_{n \rightarrow \infty} (x_{n}) = L

[!définition] Soit x_{n} une suite On pose : v_{n} = \sup \left\{ x_{k} | k \geq n \right\} alors : \limsup\limits_{n \to \infty} x_{n} = \lim\limits_{n \to \infty} v_{n}

[!idea] interprétation c'est le maximum de (u_{n}) après k quand k tend vers l'infini

[!définition]- Autre définition Soit (x_{n}): \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} L = \lim\sup\limits_{n \rightarrow \infty} (x_{n}) \in \overline{\mathbb{R}} ssi :

• \forall \lambda < L, \text{card} \left( \left\{ n \in \mathbb{N} \mid x_{n} > \lambda \right\} \right) = +\infty
• \forall \lambda > L, \text{card} \left( \left\{ n \in \mathbb{N} \mid x_{n} > \lambda \right\} \right) \neq +\infty

[!idea] interprétation La limite supérieure est la valeur L telle que :

• il n'y a pas une infinité de points de la suite au dessus de L
• il y a une infinité de points juste en dessous de L

Propriétés

Soit (u_{n})_{n} une suite réelle.

• \lim \inf u_{n} \leq \lim \sup u_{n}
• (u_{n})_{n} tend vers l \in \overline{\mathbb{R}} ssi \lim \inf u_{n} = \lim \sup u_{n} = l
• \lim \sup (\lambda u_{n}) = \lambda \lim \sup u_{n} (la limite supérieure est homogène)