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inverse

up::matrice title::"M^{-1} telle que $M^{-1}\times M= M \times M^{-1} = \mathrm{Id}$" #maths/algèbre

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Soit M une matrice. On note M^{-1} la matrice inverse de M, si elle existe, la matrice telle que M\times M^{-1} = M^{-1}\times M = Id la matrice identité

Matrice inversible

Soit A une matrice, elle est dite inversible si \exists B, AB=BA=Id

Théorème

Soit une matrice A carrée de dimension n\times n. La matrice A est inversible ssi pour tout vecteur colonne Y (de taile n\times 1), le système AX=Y d'inconnue le vecteur colonne X (de taille n\times 1) admet une et une seule solution. On a alors X=A^{-1}Y

Théorème

Une matrice est inversible ssi son déterminant d'une matrice est non nul En effet : A^{-1} = \dfrac1{\det(A)}B où B est une matrice avec les mêmes coefficients que A (cf. Théorème suivant).

Théorème

Soit A une matrice inversible, A^{-1} = \dfrac1{\det(A)}\,^T\!\text{comat}(A) Soit : A^{-1}=\dfrac{\,^T\!\text{comat}(A)}{\det(A)} Où \text{comat}(A) est la comatrice de A

L'inverse d'une matrice est la transposée de sa comatrice, divisée par son déterminant.

Pour des matrices de taille 2\times 2

Soit A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}, \det(A) = ad-bc, et on a : A^{-1} = \dfrac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}

Propriétés

• Pour qu'une matrice soit inversible, elle doit être carrée

  • Soit M et M^{-1}, la propriété est que M\times M^{-1}=M^{-1}\times M=Id, ont doit pouvoir multiplier M et M^{-1} dans les deux sens, elles doivent donc être carrées

• Pour qu'une matrice soit inversible, il faut et suffit que sont déterminant d'une matrice soit non nul

• (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}

  • !inverse d'une matrice 2022-11-09 20.33.24.excalidraw

• \displaystyle\det(A^{-1}) = \det(A)^{-1} = \frac{1}{\det(A)}

  • évident car \det(A) \times \det(A^{-1}) = \det(A \times A^{-1}) = \det(Id) = 1

Exemple

A = \begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix} A Est inversible ssi il existe A^{-1} telle que A\times A^{-1}=Id_2 On pose A^{-1} = \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} $$\begin{align} A\times A^{-1} = Id_2 &\iff \left{ \begin{gathered} a+2c = 1\ b+2d = 0\ 3c = 0\ 3d = 1 \end{gathered} \right. \ &\iff \left{\begin{gathered} a = 1\ b = \dfrac{-2}3\ c = 0\ d = \dfrac13\ \end{gathered}\right.\ & \iff A^{-1} = \begin{pmatrix}1&\dfrac{-2}3\0&\dfrac13\end{pmatrix} \end{align}$$