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up::sous groupe #maths/algèbre

[!proposition] Intersection de sous-groups Soit G un groupe L'intersection d'une famille de sous-groupe de G est un sous-groupe de G Autrement dit, soit S un ensemble de sous-groupe de G, alors \displaystyle \bigcap _{H \in S}H est un sous-groupeA

[!démonstration]- Démonstration Soit \displaystyle K := \bigcap _{H \in S} H

• \forall H \in S, H est un sous-groupe de G, donc H \ni 1. Donc \boxed{1 \in K}
• Soit k \in K, si H \in S, alors k \in H \subseteq G, donc k \in G. On a donc \boxed{K \subseteq G}
• Soient k, k' \in K \forall H \in S, \quad k, k' \in H, donc \forall H \in S, \quad kk'^{-1} \in H et donc kk'^{-1} \in K

• ! Une réunion de sous groupes n'est, en général, pas un sous-groupe (par exemple, (\mathbb{Z} /2\mathbb{Z}) \cup(\mathbb{Z} / 3\mathbb{Z}) n'est pas un groupe, car 2+3=5 \notin (\mathbb{Z} /2\mathbb{Z})\cup(\mathbb{Z}/ 3\mathbb{Z}))