cours/intégrale de 1 sur x carré plus a carré.md

alias

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intégrale de 1/(x²+a²)

up:: intégration title:: "$\displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+a^{2}} , dx = \frac{1}{a}\arctan\left( \frac{x}{a} \right)$" #maths/analyse

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Généralisation

composée avec une fonction quelconque

\big( \arctan(u) \big)' = u' \arctan'(u) = \frac{u'}{1+u^{2}} donc : \boxed{\displaystyle\int \frac{u'}{1+u^{2}} \, dx = \arctan(u)}

facteur devant le x

Plus généralement, on obtient \displaystyle \int \frac{1}{(kx)^{2} + a^{2}} \, dx = \frac{1}{ka} \arctan\left( \frac{xk}{a} \right)

[!definition] démonstration \displaystyle\int \frac{1}{a^{2}+(kx)^{2}} \, dx = \frac{1}{k^{2}}\int \frac{1}{ \frac{a^{2}}{k^{2}} +x^{2}} \, dx = \frac{1}{k^{2}}\times \frac{k}{a} \arctan\left( \frac{xk}{a} \right) = \boxed{\frac{1}{ka} \arctan\left( \frac{xk}{a} \right)}

[!example] Exemple \displaystyle \int \frac{1}{1+2x^{2}} \, dx = \frac{1}{\sqrt{ 2 }} \arctan\left( \frac{x}{\sqrt{ 2 }} \right)