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up:: produit scalaire, norme sibling:: inégalité de Minkowski title:: "$|\langle u, v\rangle| \leq |u|\cdot|v|$" #maths/algèbre

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[!definition] inégalité de cauchy schwartz Soit (E, \varphi) un espace préhilbertien avec un produit scalaire \varphi(x, y) = \langle x, y \rangle On a l'inégalité suivante : |\langle u, v \rangle| \leq \|u\| \cdot \|v\|

^definition

Démonstration

Soit un produit scalaire \langle \cdot,\cdot \rangle et \|\cdot\| sa norme associée. On a :

$$\begin{align} |\lambda x + y| &= \langle \lambda x+y, \lambda x+y \rangle \ &= \lambda \langle x, \lambda x+y \rangle + \langle y, \lambda x+y \rangle \ &= \lambda^{2}\langle x, x \rangle + 2\lambda \langle x, y \rangle + \langle y, y \rangle && \text{carré scalaire développé}\ &= \lambda^{2}|x|^{2} + 2\lambda \langle x, y \rangle + |y|^{2} && \text{polynôme de degré 2 sur } \lambda \ &\qquad \begin{array}{rl} \ \Delta &=& \left( 2\langle x, y \rangle \right)^{2} - 4|x|^{2}|y|^{2} \ &=& 4 \left(\langle x, y \rangle^{2} - |x|^{2}|y|^{2} \right) \end{array} \end{align}$$ Or, on sait que \|\lambda x + y\| \geq 0, donc on sait que le trinôme de degré 2 est toujours positif. Alors, \Delta \leq 0, et donc on a :

$$\begin{align} \Delta \leq 0 &\iff 4\left( \langle x, y \rangle^{2} - |x|^{2}\cdot|y|^{2} \right) \leq 0 \ &\iff \langle x, y \rangle^{2} - |x|^{2}\cdot|y|^{2} \leq 0 \ &\iff \langle x, y \rangle^{2} \leq |x|^{2}\cdot|y|^{2} \ &\iff |\langle x, y \rangle | \leq |x|\cdot|y| \ \end{align}$$ On a donc bien démontré que \boxed{|\langle x, y \rangle | \leq \|x\|\cdot\|y\|}

Démonstration visuelle en 2D

!inégalité de cauchy schwartz 2023-01-30 17.04.54.excalidraw

Propriétés

Cas d'égalité

Quand il y a égalité (quand |\langle u, v\rangle | = \|u\|\cdot\|v\|), les vecteurs u et v sont vecteurs colinéaires.