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up:: [[groupe]], [[inverse d'une matrice]]
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#maths/algèbre
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> [!definition] Définition
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> L'ensemble $SL_{2}(\mathbb{Z})$ des matrices $2\times 2$ d'entiers de déterminant $1$ est un groupe pour la loi $\times$
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^definition
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> [!démonstration]
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> - $SL_{2}(\mathbb{Z}) \ni Id_2$ donc $SL_2(\mathbb{Z}) \neq \emptyset $
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> - $\times$ est une [[loi de composition interne|lci]] car $+$ et $\times $ sont des lci sur $\mathbb{Z}$
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> - $x$ est associative, par associativité sur $GL_2(\mathbb{R})$ (et car $SL_2(\mathbb{Z}) \subset GL_2(\mathbb{R})$)
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> - $Id_2$ est l'élément neutre pour $x$
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> - Soit $M = \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \in SL_2(\mathbb{Z})$, on veut montrer que $M^{-1} \in SL_2(\mathbb{Z})$
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> - On a bien $\det(M^{-1}) = (\det M)^{-1} = 1 ^{-1} = 1$
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> - On a $M^{-1} = \frac{1}{\det M}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$, qui est bien à coefficients entiers
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> - donc on a bien $\forall M \in SL_2(\mathbb{Z}), \quad M^{-1} \in SL_2(\mathbb{Z})$
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