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id url createdAt updatedAt filename isPublic 976cef2d994763cd454f2b461fa699c0 https://gist.github.com/976cef2d994763cd454f2b461fa699c0 2022-09-23T09:52:01Z 2022-09-23T10:27:58Z notions de base en maths.md true

Ensembles

Notations

• Esembles par extension

  • \lbrace x \in E \mid \mathscr{P}(x) \rbrace est l'ensemble des x dans E tels que la propriété \mathscr{P}(x) est respectée
  • Exemples :
    • \left\lbrace x \in \mathbb{N} \mid \frac{x}{2} \in \mathbb{N} \right\rbrace : les nombres pairs
    • \lbrace x \in \mathbb{R} \mid x^{2}=x+1 \rbrace : solutions de x^{2}=x+1 sur \mathbb{R}
    • \left\lbrace x \in \mathbb{R} | \exists (n, k)\in \mathbb{Z}, x = \frac{n}{k} \right\rbrace ensemble des rationnels : \mathbb{Q}

• A \subset B : A est contenu dans B

  • \forall x \in A, x \in B

• A \subsetneq B : A est strictement mais différent de B

  • \forall x \in A, x \in B et \exists x \in A, x \not\in B

• A \cup B : A union B : éléments qui sont dans A ou dans B

  • \lbrace x | x \in A \text{ ou } x \in B \rbrace

• A \cap B : A inter B : éléments qui sont dans A et dans B

  • \lbrace x | x \in A \text{ et } x \in B \rbrace

Ensembles classiques

• \mathbb{N} : les entiers naturels : \lbrace 0, 1, 2, 3, \dots \rbrace
• \mathbb{Z} : les entiers relatifs : \lbrace \dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots \rbrace
• \mathbb{Q} : les nombres rationels (qui exprimables comme des fractions) : \left\lbrace\dots \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{137}{42}, 4, -\frac{1}{12}, \dots \right\rbrace
• \mathbb{R} : les nombres réels (tous les nombres classiques) : \left\lbrace \dots, \frac{\sqrt{ 3 }}{2}, \pi, 42, \frac{73}{67}, \dots \right\rbrace
• \mathbb{C} : les nombres complexes (avec i^{2}=-1) : \left\lbrace \dots -2, i+3, \sqrt{ 2 }i+\frac{1}{3}, i-\pi, 73i+42\dots \right\rbrace

Nombres complexes

Définition

On remarque que l'équation x^{2}=-1 n'a pas de solutions sur \mathbb{R}. On créé un nombre i solution de cette équation : i^{2}=-1 Ce nombre n'est donc pas un réel : on l'appelle le nombre imaginaire.

l'ensemble des nombres imaginaires (imaginaires purs), \mathbb{I}, est donc l'ensemble des k\times i où k \in \mathbb{R} : \mathbb{I} = \lbrace k\times i \mid k \in \mathbb{R} \rbrace

L'ensemble des nombres complexes regroupe \mathbb{R}, \mathbb{I}, et tous les nombres "composites" de la forme a+ib où a et b sont réels. Donc : \mathbb{R} = \lbrace a+ib\mid(a,b)\in\mathbb{R}^{2} \rbrace

Note: \mathbb{R}\subset\mathbb{C} et \mathbb{I}\subset \mathbb{C} mais bien sûr \mathbb{C} \neq \mathbb{R} \cup \mathbb{I} puisque, par exemple i + 1 est dans \mathbb{C} mais ni dans \mathbb{R}, ni dans \mathbb{I}.

Propriétés