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id url createdAt updatedAt filename isPublic de51c8e76d38d10836647f5269334af6 https://gist.github.com/de51c8e76d38d10836647f5269334af6 2022-09-25T20:05:29Z 2022-09-25T20:05:29Z formulaire d'analyse.md true

formulaire d'analyse

Rappels : Identités remarquables

(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}

(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}

(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}

(a + b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}

(a - b)^{3} = a^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2} - b^{3}

a^{3} - b^{3} = (a - b)\left( a^{2} + ab + b^{2} \right)

a^{3} + b^{3} = (a + b)\left( a^{2} - ab + b^{2} \right)

I Suites arithmétiques et géométriques

1) Suites arithmétiques

Termes de la suite (r désigne la raison):

u_{n+1} - u_{n} = r

u_{n} = u_{0} + nr

u_{n} = u_{p} + (n-p)r

Somme des termes :

\displaystyle S_{n} = \sum_{k=0}^{n}u_{k} = \dfrac{(n+1)(u_{0}+u_{n})}{2}

Cas général avec n_{1} \leq n_{2} :

\displaystyle S' = \sum_{k = n_{1}}^{n_{2}}u_{k} = \frac{(nombre\ de\ termes)(premier\ terme + dernier\ terme)}{2}

Cas particulier :

1 + 2 + 3\ \cdots + (n - 1) + n = \frac{n(n + 1)}{2}

2) Suites géométriques

On suppose que la suite est non nulle. Termes de la suite (q désigne la raison) :

\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} = q

u_{n} = u_{0} \times q^{n}

u_{n} = u_{p}\times q^{n-p}

Somme des termes :

S_{n} = \sum\limits_{k=0}^{n}u_{k}

• Si q \neq 1 : S_{n} = u_{0}\times \frac{1-q^{n+1}}{1-q}
• Si q=1 : S_{n}=u_{0}(n+1)

Cas général avec n_{1} \leq n_{2} : S'_{n} = \sum\limits_{k=0}^{n}u_{k}

• Si q \neq 1 : S'_{n} = (\text{premier terme}) \times \frac{1- \left( q^{\text{nombre de termes}} \right)}{1-q}
• Si q = 1 : S'_{n} = (\text{nombre de termes}) \times (\text{premier terme})

II Formules de dérivation

1) Formules générales

Dans ce qui suit, u et v désignent deus fonctions d'une variable réelle x, et k une constante réelle.

(u+v)' = u' + v'

(ku)' = ku'

(uv)' = u'v + uv'

\left( \dfrac{u}{v} \right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^{2}}

(v\circ u)' = u' \times (v'\circ u)

\displaystyle(u^{-1})' = \dfrac{1}{u' \circ u^{-1}}

2) Fonctions usuelles

a) fonctions non composées

Fonction f	\mathscr{D}_{f}	Fonction dérivée f'	\mathscr{D}_{f'}
k	\mathbb{R}	0	\mathbb{R}
x	\mathbb{R}	1	\mathbb{R}
\dfrac{1}{x}	\mathbb{R}^{*}	-\dfrac{1}{x^{2}}	\mathbb{R}^{*}
\sqrt{ x }	\mathbb{R}^{+}	\frac{1}{2\sqrt{ x }}	\mathbb{R}^{+*}
x^{n} avec n \in\mathbb{Z}	\mathbb{R}	nx^{n-1}	\mathbb{R} \text{ si } n \geq 0, \quad \mathbb{R}^{*} \text{ si } n < 0
x^{\alpha} avec \alpha \in\mathbb{R}	\mathbb{R}^{+} \text{ si } \alpha \geq 0, \quad \mathbb{R}^{+*} \text{ si } \alpha<0	\alpha x^{\alpha-1}	\mathbb{R} \text{ si } n \geq 0, \quad \mathbb{R}^{*} \text{ si } \alpha < 1
\ln \mid x \mid	\mathbb{R}^{+*}	\dfrac{1}{x}	\mathbb{R}^{+*}
\exp x	\mathbb{R}	\exp x	\mathbb{R}
\sin x	\mathbb{R}	\cos x	\mathbb{R}
\cos x	\mathbb{R}	-\sin x	\mathbb{R}
\tan x	\mathbb{R} \setminus \left\lbrace \dfrac{\pi}{2} + k\pi \right\rbrace	1+\tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x}	\mathbb{R} \setminus \left\lbrace \dfrac{\pi}{2} + k\pi \right\rbrace
\mathrm{sh} x	\mathbb{R}	\mathrm{ch} x	\mathbb{R}
\mathrm{ch} x	\mathbb{R}	\mathrm{sh} x	\mathbb{R}
\mathrm{th} x	\mathbb{R}	1-\mathrm{th}^2 x = \dfrac{1}{\mathrm{ch}^2 x}	\mathbb{R}

Les dérivées des fonctions réciproques des fonctions trigonométriques et hyperboliques figurent dans la section "trigonométrie réciproque

b) Fonctions composées

forme de la fonction	forme de la dérivée
\dfrac{1}{u}	-\dfrac{u'}{u^2}
\sqrt{u}	\dfrac{u'}{2 \sqrt{u}}
u^{\alpha}	\alpha u' u^{\alpha - 1}
\ln\mid u \mid	\dfrac{u'}{u}
\exp u	u' \times \exp u
\sin u	u'\times \cos u
\cos u	-u' \times \sin u
\tan u	u' \times (1+\tan^2 u) = \dfrac{u'}{\cos^2 u}
\mathrm{sh} u	u' \times \mathrm{ch} u
\mathrm{ch} u	u' \times \mathrm{sh} u
\mathrm{th} u	u' \times (1-\mathrm{th}^2 u) = \dfrac{u'}{\mathrm{ch}^2 u}

III Fonctions trigonométriques et hyperboliques

1) Fonctions trigonométriques

\cos^2 x + \sin^2 x = 1

\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b

\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b

\sin(a+b) = \sin a\cos b + \sin b \cos a

\sin(a-b) = \sin a \cos b - \sin b \cos a

\tan(a+b) = \dfrac{\tan a + \tan b}{1-\tan a \tan b}

\tan(a-b) = \dfrac{\tan a - \tan b}{1+\tan a \tan b}

\cos a \cos b = \dfrac{1}{2} \big( \cos(a+b)+\cos(a-b) \big)

\sin a\sin b = \dfrac{1}{2} \big( \cos(a-b) - \cos(a+b) \big)

\sin a \cos b = \dfrac12 \big( \sin(a+b) + \sin(a-b) \big)

\cos a + \cos b = 2\cos \dfrac{(a+b)}{2}\cos\dfrac{(a-b)}{2}

\cos a - \cos b = -2\sin\dfrac{a+b}{2}\sin\dfrac{a-b}{2}

\sin a + \sin b = 2\sin\dfrac{a+b}{2}\cos\dfrac{a-b}{2}

\sin a - \sin b = 2\sin\dfrac{a-b}{2} \cos\dfrac{a+b}{2}

\cos(2x) =\cos ^{2}x-\sin ^{2}x \quad= 2\cos ^{2}x-1 \quad= 1-2\sin ^{2}x \quad= \frac{1-\tan ^{2}x}{1+\tan ^{2}x}

\cos^2 x = \dfrac{1+\cos(2x)}{2}

\sin^2 x = \dfrac{1-\cos(2x)}{2}

\tan^2 x = \dfrac{1-\cos(2x)}{1+\cos(2x)}

\sin(2x) = 2\sin x\cos x \quad= 1+\tan ^{2}x

\tan(2x) = \dfrac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}

2) Fonctions hyperboliques

\mathrm{ch}^2 x - \mathrm{sh}^2 x = 1

\mathrm{ch}(a+b) = \mathrm{ch} (a) \;\mathrm{ch} (a) + \mathrm{sh} a \mathrm{sh} b

\mathrm{ch}(a-b) = \mathrm{ch} (a)\; \mathrm{ch} (b) - \mathrm{sh} a \mathrm{sh} b

\mathrm{sh}(a+b) = \mathrm{sh} (a)\; \mathrm{ch} (b) + \mathrm{sh} (b)\; \mathrm{ch} (a)

\mathrm{sh}(a-b) = \mathrm{sh} (a); \mathrm{ch} (b) - \mathrm{sh} (b) \mathrm{ch} (a)

\mathrm{th}(a+b) = \dfrac{\mathrm{th} a + \mathrm{th} b}{1 + \mathrm{th} (a) \mathrm{th} (b)}

\mathrm{th}(a-b) = \dfrac{\mathrm{th} a - \mathrm{th} b}{1 - \mathrm{th} (a) \mathrm{th} (b)}

\mathrm{ch} (a) \;\mathrm{ch} (b) = \dfrac12 \big( \mathrm{ch}(a+b) + \mathrm{ch}(a-b) \big)

\mathrm{sh} (a)\; \mathrm{sh} (b) = \dfrac12 \big( \mathrm{ch}(a+b) - \mathrm{ch}(a-b) \big)

\mathrm{sh} (a)\; \mathrm{ch} (b) = \dfrac12 \big( \mathrm{sh}(a+b) + \mathrm{sh}(a-b) \big)

\mathrm{ch} (a) + \mathrm{ch} (b) = 2\mathrm{ch} \dfrac{a+b}{2} \mathrm{ch} \dfrac{a-b}{2}

\mathrm{ch} (a) - \mathrm{ch} (a) = 2\mathrm{sh} \dfrac{a+b}{2}\mathrm{sh}\dfrac{a-b}{2}

\mathrm{sh} (a) + \mathrm{sh} (b) = 2\mathrm{sh} \dfrac{a+b}{2}\mathrm{ch}\dfrac{a-b}{2}

\mathrm{sh} (a) - \mathrm{sh} (b) = 2\mathrm{sh}\dfrac{a-b}{2} \mathrm{ch}\dfrac{a+b}{2}

\mathrm{ch}(2x) = \mathrm{ch} ^{2}x + \mathrm{sh} ^{2}x \quad= 2\mathrm{ch} ^{2}x - 1 \quad= 1+2\mathrm{sh} ^{2}x \quad=\frac{1+\mathrm{th} ^{2}x}{1-\mathrm{th} ^{2}x}

\mathrm{ch}^2 x = \dfrac{1+\mathrm{ch}(2x)}{2}

\mathrm{sh}^2 x = \dfrac{\mathrm{ch}(2x) - 1}{2}

\mathrm{th}^2 x = \dfrac{\mathrm{ch}(2x) - 1}{\mathrm{ch}(2x) + 1}

\mathrm{sh}(2x) = 2\mathrm{sh}(x) \mathrm{ch}(x) \quad= \frac{2\mathrm{th}(x)}{1-\mathrm{th}^{2}(x)}

\mathrm{th}(2x) = \dfrac{2\mathrm{th} x}{1+\mathrm{th}^2 x}

3) Points sur le cercle trigonométrique

	-x	\frac{\pi}{2}+x	\frac{\pi}{2}-x	\pi+x	\pi-x	0	\frac{\pi}{6}	\frac{\pi}{4}	\frac{\pi}{3}	\frac{\pi}{2}
\sin	-\sin x	\cos x	\cos x	-\sin x	\sin x	0	\frac{1}{2}	\frac{\sqrt{ 2 }}{2}	\frac{\sqrt{ 3 }}{2}	1
\cos	\cos x	-\sin x	\sin x	-\cos x	-\cos x	1	\frac{\sqrt{ 3 }}{2}	\frac{\sqrt{ 2 }}{2}	\frac{1}{2}	0
\tan	-\tan x	-\frac{1}{\tan x}	\frac{1}{\tan x}	\tan x	-\tan x	0	\frac{\sqrt{ 3 }}{2}	1	\sqrt{ 3 }

4) Trigonométrie réciproque

\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2}

\arctan x + \arctan \dfrac{1}{x} = \text{sg}(x) \times \dfrac{\pi}{2} avec \mathrm{sg}(x) = 1 \text{ si } x>0 et \mathrm{sg}(x) = -1 \text{ si } x < 0

(\arcsin x)' = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}

(\arccos x)' = -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}

(\arctan x)' = \dfrac{1}{1+x^2}

(\arcsin u)' = \dfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}

(\arccos u)' = -\dfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}

(\arctan u)' = \dfrac{u'}{1+u^2}

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5) Trigonométrie hyperbolique réciproque

\arg\mathrm{sh} x = \ln \left( x + \sqrt{ 1+x^2 } \right)

\arg\mathrm{ch} x = \ln \left( x + \sqrt{ 1 - x^2 } \right)

\arg\mathrm{th} x = \dfrac12 \ln \left( \dfrac{1+x}{1-x} \right)

(\arg\mathrm{sh} x)' = \dfrac{1}{\sqrt{ x^2 + 1 }}

(\arg\mathrm{ch} x)' = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}

(\arg\mathrm{th} x)' = \dfrac{1}{1-x^2}

(\arg\mathrm{sh} u)' = \dfrac{u'}{\sqrt{ u^2 + 1 }}

(\arg\mathrm{ch} u)' = \dfrac{u'}{\sqrt{ u^2 - 1}}

(\arg\mathrm{th} u)' = \dfrac{u'}{1 - u^2}

IV Limites usuelles

1) Comportement à l'infini

\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \ln x = +\infty

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\exp x = +\infty

\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\exp x = 0

Si \alpha > 0, \displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^{\alpha} = +\infty

Si \alpha < 0, \displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^{\alpha} = 0

Si \alpha > 0, \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\exp x}{x^\alpha} = \lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^\alpha} = +\infty

Si \alpha > 0, \displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^\alpha\times\exp(-x) = \lim_{x\to+\infty}x^\alpha e^{-x} = 0

2) Comportement à l'origine

\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \ln x = + \infty

Si \alpha > 0, \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^+} x^\alpha = +\infty

Si \alpha < 0, \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^+} x^\alpha = +\infty

Si \alpha > 0, \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^+} \left( x^\alpha \ln x \right) = 0 propriété de croissance comparée

\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\ln (1+x)}{x} = 1

\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = 1

\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin x}x = 1

V Formules d'intégration

1) Primitives usuelles

Si \alpha \neq -1, \displaystyle \int x^\alpha \mathrm{d} x = \dfrac{1}{\alpha + 1}x^{\alpha +1} + \text{cte}

\displaystyle\int \dfrac{1}x \mathrm{d} x = \ln |x|+\text{cte}

\displaystyle\int \dfrac{1}{x+\alpha }\mathrm{d} x = \ln |x+\alpha |+\text{cte}

\displaystyle\int e^x \mathrm{d} x = e^x + \text{cte}

Si \alpha > 0 et \alpha \neq 1, \displaystyle\int \alpha^x \mathrm{d} x= \dfrac{1}{\ln \alpha }\times \alpha^x + \text{cte}

\displaystyle\int \cos x \mathrm{d} x = \sin x + \text{cte}

\displaystyle\int \sin x \mathrm{d} x = -\cos x + \text{cte} Si \alpha \neq 0, \displaystyle\int \cos \alpha x \mathrm{d} x = \dfrac{1}{\alpha} \sin \alpha x + \text{cte}

Si \alpha \neq 0, \displaystyle\int \sin \alpha x \mathrm{d} x = \dfrac{1}{\alpha} \cos \alpha x + \text{cte}

\displaystyle \int \dfrac{1}{\cos ^2 x} \mathrm{d} x = \tan x + \text{cte}

\displaystyle\int 1 + \tan ^2 x \mathrm{d} x = \tan x + \text{cte}

\displaystyle\int \dfrac{1}{\sin ^2 x} \mathrm{d} x = -\mathrm{cotan} x + \text{cte} \quad= -\dfrac{1}{\tan x} + \text{cte}

\displaystyle\int \dfrac{1}{1+x^2} \mathrm{d} x = \arctan x + \text{cte}

\displaystyle\int \mathrm{ch} x \mathrm{d} x = \mathrm{sh} x + \text{cte}

\displaystyle\int \mathrm{sh} x \mathrm{d} x = \mathrm{ch} x + \text{cte}

\displaystyle\int \dfrac{1}{\mathrm{ch}^2 x} \mathrm{d} x = \mathrm{th} x + \text{cte}

\displaystyle\int \dfrac{1}{\mathrm{sh}^2 x} \mathrm{d} x = \dfrac{1}{\mathrm{th} x} + \text{cte}