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up::[[développement limité]]
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title::"$\displaystyle f(x_{0}) = \sum_{k=0}^{n} \left( \frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}\cdot(x-x_{0})^{k} \right)$"
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#maths/analyse
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Formules pour calculer la décomposition en [[série entière]] d'une fonction, et son [[développement limité]].
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# Formule de Taylor pour les polynômes
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Soit $P$ un [[polynôme]], $a$ un réel, $n$ un entier tel que $n\geq deg(P)$
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Alors :
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$\boxed{ P(a) = \sum_{k=0}^n \left( \dfrac{p^{(k)}(a)}{k!}\cdot(x-a)^k \right) }$
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## Exemple
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$P(x) = 3x^4 + 5x^3 - 4x^2 + x - 7$
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$a = 2$, $n = 4$
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D'après la formule de Taylor :
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$$P(x) = \dfrac{P^{(0)}(2)}{0!}(1-2)^0 + \dfrac{P^{(1)}(2)}{1!}(x-2)^1 + \dfrac{P^{(2)}(2)}{2!}(x-2)^2 + \dfrac{P^{(3)}(2)}{3!}(x-2)^3 + \dfrac{P^{(4)}(2)}{4!}(x-2)^4$$
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- $P^{(0)}(x) = P(x) = 3x^4 + 5x^3 - 4x^2 + x - 7$
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- $P^{(1)}(x) = 12x^3 + 15x^2 - 8x + 1$
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- $P^{(2)}(x) = 36x^2 + 30x - 8$
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- $P^{(3)}(x) = 72x + 30$
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- $P^{(4)}(x)=72$
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- $P^{(n)}(x) = 0$ pour $n\geq5$
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$P(a)$
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# Formule de Taylor Lagrange
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Soit $[a; b]$ un intervalle de $\mathbb R$, $a<b$,
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et soit $f$ une fonction définie sur $[a; b]$ :
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- de classe $C^n$ sur $[a;b]$ (voir [[classe d'une fonction]])
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- telle que $f^{(n+1)}$ existe sur $]a; b[$
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Alors, il existe $c\in]a;b[$ tel que :
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$$f(b) = f(a)+\dfrac{f^{(1)}(a)}{1!}(b-a) + \dfrac{f^{(2)}(a)}{2!}(b-a)^2 + \ldots + \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(b-a)^n + \underbrace{\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}}_{\text{reste de Lagrange}}$$
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Soit :
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$$f(b) = \underbrace{\sum_{k=0}^n \left(\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k\right)}_{\text{partie régulière}}
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+ \underbrace{\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}}_{\text{reste de Lagrange}}$$
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## Formule de Mac-Laurin (cas particulier)
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Dans le cas particulier où $a=0$
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$$f(x) = \underbrace{f(0)
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+ \dfrac{f^{(1)}(0)}{1!}x
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+ \dfrac{f^{(2)}(0)}{2!}x^2
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+ \ldots
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+ \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n}_{\text{partie régulière}}
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+ \underbrace{\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}x^{n+1}}_{\text{reste de Taylor}}$$
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# Formule de Taylor-Young
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A l'ordre $n$, au voisinage de $x_0$ :
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Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, $n\in\mathbb N^*$, $x_0\in I$;
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On suppose que $f$ est de [[classe d'une fonction|classe]] $C^{n-1}$ sur $I$ et que $f^{(n)}(x_0)$ existe.
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Alors : Il existe une fonction $\varepsilon$ définie sur $I$ telle que :
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$\boxed{\displaystyle f(x) = \sum_{k=0}^n \left(\dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k\right)+(x-x_0)^n\varepsilon(x)}$ avec $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0} \varepsilon(x) = 0$.
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